Teoria delle, superficie 
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questa curva. Ai punti di una generatrice di 2 corrisponderanno i piani che 
passano per la corrispondente tangente di 2% cioè i piani che toccano 2 r in 
uno stesso punto. Onde, come una sviluppabile è una serie doppiamente infi¬ 
nita di punti, cioè un caso particolare delle superficie-luoghi, così una curva 
è una serie doppiamente infinita di piani, cioè un caso particolare delle su- 
perficie-iuviluppi. 
Sia P un piano tangente di 2, p' il punto corrispondente di 2'. Il pia¬ 
no P conterrà due generatrici consecutive di 2, e al punto p comune ad 
esse corrisponderà il piano P' determinato dalle due tangenti consecutive di 2’ 
incontrantisi in p' ; ossia al punto p della curva cuspidale di 2 corrisponderà 
il piano P' osculatore a 2' in p. Dunque, se un punto percorre la curva cu¬ 
spidale di 2, il piano corrispondente si manterrà osculatore a 2', cioè in¬ 
vilupperà la sviluppabile osculatrice di 2'. Ai punti ove concorrono due ge¬ 
neratrici non consecutive di 2 corrisponderanno i piani che contengono due 
tangenti non consecutive di 2', cioè alla curva nodale di 2 corrisponderà la 
sviluppabile bitangente di 2 r ; ecc. Epperò se per 2, r è F ordine, m la clas¬ 
se, n F ordine della curva cuspidale, x F ordine della curva doppia, a il nu¬ 
mero de’ piani stazionari, g il numero delle rette situate in un piano qualun¬ 
que per ciascuna delle quali passano due piani tangenti, ecc. ; la curva 2' sa¬ 
rà delF ordine m, la sua sviluppabile osculatrice sarà dell 9 ordine r e della 
classe n, la sua sviluppabile bitangente sarà della classe x\ 2' avrà a punti 
stazionari e g corde concorrenti in un punto arbitrario, ecc. 
Se, come caso speciale, la sviluppabile 2 è un cono, cioè se tutti i pia¬ 
ni della serie passano per un punto fisso, i punti corrispondenti saranno tutti 
in un piano fisso, cioè 2' sarà una curva piana (*). 
38. Assunte di nuovo le superficie reciproche 5, S', alle sezioni piane 
dell’ una corrisponderanno i coni circoscritti all’ altra. Se la superficie S ha 
un punto doppio ove sia osculata da infinite rette formanti un cono quadrico, 
S' avrà un piano tangente doppio nel quale coincideranno due piani 
tangenti per ogni retta tracciata in esso ad arbitrio, e tre per ciascuna delle 
tangenti di una certa conica, che è una curva di contatto fra il piano e la 
superficie. Quel cono può decomporsi in due piani distinti (punto bipla¬ 
na re) o coincidenti (punto uniplanare), così questa conica potrà de¬ 
generare in due punti distinti (piano bitangente) o consecutivi (piano 
stazionario (31)). 
In generale, se S ha un punto (r)? /o , cioè un punto che rappresenti r 
intersezioni riunite con una retta condotta per esso ad arbitrio, ed r + 1 in¬ 
tersezioni riunite per le generatrici di un certo cono osculatore d’ ordine r ; 
S' avrà un piano tangente (\ r)^°, ossia un piano che terrà luogo di r piani 
tangenti coincidenti per una retta tirala in esso ad arbitrio, e di r •+■ 1 piani 
Se 2 e un cono quadrico, 2' sarà una conica. Perciò, come un cono quadrico è un caso particolare 
fra te superficie di secondo ordine, così una conica è un caso particolare fra le superficie di seconda 
classe. Si ottiene questo caso quando in nno, epperò in tutti i piani tangenti le due rette osculatrici 
coincidono in una sola retta ( che è tangente alla curva ). Tutti i piani che passano per questa retta 
hanno lo stesso pnnto di contatto. 
T. VI. 
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