Teoria delle superficie 
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derare come altrettante posizioni di una superficie che varii di sito e di for¬ 
ma nello spazio secondo lina data legge (*). 
Siano S , S'y S'[, S ... superficie consecutive della serie, ossia succes¬ 
sive posizioni della superficie mobile; e 2 il luogo di tutte le curve analoghe 
ad SS’, S'S", S"S r ",.... La superficie 2 è segata da S' lungo le due curve 
consecutive ( infinitamente vicine ) Sò', S'S", ossia 2 è toccata da S' lungo la 
curva S'S". A cagione di tale proprietà le superficie 5 diconsi inviluppate; 
2 dicesi inviluppante; ed alle curve secondo le quali si segano due in¬ 
viluppate successive, cioè alle curve di contatto fra l’inviluppante e le invi¬ 
luppate, si dà il nome di caratteristiche dell’inviluppante (**). 
Quando le superficie S sono piani, 2 è una sviluppabile, e le sue carat¬ 
teristiche sono le rette generatrici (7). 
46. La superficie 2 è evidentemente il luogo di un punto pel quale pas¬ 
sino due inviluppate consecutive. Quindi un punto nel quale si seghino due, 
tre,.. coppie distinte di inviluppale successive, vale a dire due, tre,.. carat¬ 
teristiche distinte, sarà doppio (biplanare), triplo ( triplanare ),.. per 2. Que¬ 
sta superficie avrà dunque in generale una curva doppia o nodale, luogo di un 
punto ove si seghino due caratteristiche non consecutive, e su questa curva vi 
sarà un certo numero di punti tripli. 
Così sarà uniplanare per 2 un punto nel quale si seghino due caratte¬ 
ristiche consecutive. Questa superficie avrà dunque una curva cuspidale, luogo 
delle intersezioni delle successive caratteristiche : curva toccata da ciascuna ca¬ 
ratteristica nel punto comune a questa ed alla caratteristica successiva. 
La curva cuspidale è il luogo di un punto nel quale s’incontrino tre in¬ 
viluppate successive. Vi potrà essere un certo numero di punti ciascuno dei 
quali sia situato in quattro inviluppate successive, cioè in tre caratteristiche 
consecutive; tali punti saranno evidentemente punti stazionari per la curva cu¬ 
spidale ed apparterranno anche alla curva doppia a cagione dell’ incontro della 
prima colla terza caratteristica. E i punti ne’ quali si segano due caratteristi¬ 
che consecutive ed un’ altra non consecutiva saranno punti stazionari della enr- 
va doppia e giaceranno anche nella curva cuspidale. 
47. Per dare un esempio, la serie delle superficie 5 sia tale che per un 
punto qualunque dello spazio passino due di queste superficie. Allora la su¬ 
perficie 2 sarà il luogo de’ punti pei quali le due superficie S coincidono. 
Ciascun punto della superficie 2 essendo situato sopra una sola inviluppata, e 
precisamente sopra quella che tocca 2 nel punto suddetto, ne segue che tuli’ i 
punti cornilo! a 2 e ad un’inviluppata sono punti di contatto fra le due su¬ 
perbe*. Ma la curva di contatto fra 2 ed una superficie è l’intersezione di 
questa coll' inviluppata consecutiva, epperò è una curva d’ ordine n 2 ; dunque 
2 sarà una superficie d’ordine 2n. In essa non vi è nè curva doppia nè 
