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Luigi Cremona 
do e la superficie, sarà un punto doppio della superficie medesima, e non 
cambierà, comunque il piano Jtf giri intorno alia retta G. In fatti la curva 
d’ ordine n — 1 è il luogo dei punti ove il piano M è incontrato dalle gene¬ 
ratrici ( tranne G ) ; la generatrice consecutiva a G incontra M nel punto del¬ 
la curva prossimo a quello in cui M è tangente alla superficie ; dunque per 
gli altri n — 2 punti comuni a G ed alla curva passano altrettante generatrici 
non consecutive. Un punto ove si segano due generatrici distinte è doppio per 
la superficie; imperocché considerando, come si è fatto sopra (49), le gene¬ 
ratrici consecutive a ciascuna delle due preaccennate, si trova che in quel pun¬ 
to la superficie ammette due piani tangenti distinti. Oppure, si può osservare 
che il punto comune a due generatrici non consecutive rappresenta due inter¬ 
sezioni riunite della superficie con qualunque retta passante per esso, perchè 
questa retta uon potrà incontrare che n — 2 altre generatrici. Dunque la su¬ 
perficie ha una curva doppia incontrata in n — 2 punti da ciascuna genera¬ 
trice (*). In ciascun punto di questa curva la superficie ha due piani tangenti 
che passano rispettivamente per le due generatrici ivi incrociate, e si segano 
secondo una retta che sarà la tangente della curva doppia medesima. 
Dalla proprietà reciproca si trae che i piani contenenti due generatrici non 
consecutive inviluppano una sviluppabile bitangente ( doppiamente circoscritta al¬ 
la superficie gobba ), che ha n — 2 piani tangenti passanti per ciascuna ge¬ 
neratrice della superficie data. Ciascun piano contenente due generatrici ( non 
consecutive ) tocca la superficie data in due punti, che sono quelli ne’ quali 
le generatrici anzidette sono incontrate dalla generatrice di contatto fra la svi¬ 
luppabile bitangente e il detto piano. 
53. Una superficie gobba ha in generale alcune generatrici (singolari) in¬ 
contrate dalle generatrici consecutive. Quando due generatrici consecutive G,G' 
si incontrano, il piano che le contiene tocca la superficie in tutti i punti di G , 
come avviene nelle sviluppabili ; cioè questo piano può essere considerato come 
un piano stazionario che ha infiniti punti (parabolici) di contatto succedentisi conti¬ 
nuamente sopra una retta. Ogni retta condotta in quel piano è tangente alla su¬ 
perficie in un punto della generatrice G . E il punto GG’ potrà risguardarsi come 
un punto stazionario con infiniti piani tangenti passanti per la retta G ; ogni retta 
passante pel punto GG' è tangente alla superficie in un piano che contiene la 
retta G . Il numero di questi punti e piani singolari, per una superficie di 
dato ordine, è finito, epperò questa non ammetterà nè una curva cuspidale nè 
una sviluppabile osculatrice. Cioè la sezione fatta con un piano qualunque 
non avrà cuspidi; ed il cono circoscritto avente il vertice in un punto qua¬ 
lunque non avrà piani stazionari. 
In certi casi particolari la superficie ha anche delle generatrici dop¬ 
pie. Una tal generatrice rappresenta due generatrici coincidenti per qualunque 
piano passante per essa; ogni retta che la seghi incontra ivi la superficie in 
due punti coincidenti. 
