Teoria delle superficie 
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La classe di un cono circoscritto è (33) uguale a quella della superficie 
data, cioè n Dunque, se d è il numero de’ piani bitangenti del cono, ossia 
il numero de’ piani passanti pei vertice e contenenti due generatrici della su¬ 
perficie data, l’ordine del cono sarà «(» — l)-2d. Ma l’ordine del cono 
è evidentemente uguale alla classe della curva che si ottiene segando la super¬ 
ficie gobba con un piano passante pel vertice del cono; e la classe di questa 
curva è n(n — t) — 28, ove 8 sia il numero dei suoi punti doppi. Dunque 
d = 8, cioè la classe della sviluppabile bitangente di una 
superficie gobba è uguale all’ordine della curva doppia^). 
54. Due linee curve ( piane o gobbe) si diranno punteggiale pro¬ 
iettivamente quando i punti dell’ una corrispondano, ciascuno a ciascuno. 
ueu aura ; per modo che le due curve si possano supporre generate 
simultaneamente dal movimento di due punti, e ad una posizione qualunque 
del primo o del secondo mobile corrisponda una sola posizione del secondo 
o del primo. 
Suppongasi ora che siano date in due piani P', P" due curve punteg¬ 
giate projettivamente ; sia ri l’ordine della prima, 8' il numero de* punti dop¬ 
pi con tangenti distinte e x il numero de’ punti doppi con tangenti coincidenti 
( cuspidi ) ; ri', 8", ri' i numeri analoghi per la seconda curva (**). Quale 
sarà il grado della superficie gobba, luogo della retta che unisce due punti 
corrispondenti x', x" delle due curve? ossia quante rette x'x" sono incon¬ 
trate da una retta qualunque R? Un piano condotto ad arbitrio per R seghe¬ 
rà la prima curva in ri punti x', ai quali corrisponderanno altrettanti pun¬ 
ti x situati generalmente in ri piani diversi del fascio R. Viceversa un pia¬ 
no arbitrano per R segherà la seconda curva in n" punti x" ai quali corri¬ 
sponderanno ri' punti x' situati in altrettanti piani per R. Per tal modo si 
vede che a ciascuna posizione del piano Rx ne corrispondono ri del piano 
Rx e che a ciascuna posizione del piano Rri' ne corrispondono ri' del pia- 
D° ,/ 1 " a ™ DD0 pertanto »' -+• n" coincidenze di due piani corrispondenti 
Rx , Rat , cioè per R passano ri ri' piani ciascun de’ quali conterrà due 
punti corrispondenti delle due curve. Dunque il grado della superficie gobba, 
luogo delle rette x'x", è ri -b ri'. ( Evidentemente la dimostrazione e la con¬ 
clusione non cambiano se in luogo di due curve piane si assumano due cur- 
ve gobbe, ovvero una curva gobba ed una curva piana, i cui ordini siano 
La curva (ri') incontra il piano P' in ri' punti x", e le rette che li 
uniscono ai loro corrispondenti punti x' saranno altrettante generatrici della 
superficie. Il piano P', contenendo ri' generatrici, è tangente in ri' punti ( uno 
per ciascuna generatrice ), e la sezione da esso fatta nella superficie è com¬ 
posta di quelle » ' rette e della curva (ri). Questa sezione ha riri' -+- 
ri'(n" — 1) 
2 ^ x P unt * doppi ; sottratti gli ri' punti di contatto, il nume- 
