Teoria delle superficie 
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▼ersi punti £ di A ; questo fascio ed il fascio delle corrispondenti rette X , 
essendo proiettivi, genereranno coll’ intersecarsi de’ raggi corrispondenti una 
conica, che passerà per a e per b, epperò incontrerà K in altri 2n — r — s = » 
punti x. Congiungendo x col punto \ di A che corrisponde al raggio X = bx, 
si ha una retta situata nel piano dunque la superficie cercata è del gra¬ 
do n. Ogni piano per A sega K in a ed in altri s punti x ai quali corri¬ 
spondono ordinatamente il punto a ed altri s punti % di A ; le due serie di 
punti sono projettive e due punti corrispondenti coincidono; dunque le rette 
\x concorreranno in un punto fisso y del piano. Quando il piano passa per 
ab, il punto y cade in 6; dunque la superficie ha ( oltre ad A ) un’ altra di¬ 
rettrice rettilinea, multipla secondo s, che passa pel punto b. 
Supponiamo ora che la retta R si avvicini infinitamente ad A, epperò il 
punto b al punto a. Supposto r non minore di $, fra gli r rami di K in¬ 
crociati in a ve ne saranno s passanti anche per b, e conseguentemente toc¬ 
cati dalla retta ab (*). In questo caso i punti ? di A corrispondono projetli- 
vamente alle rette X tracciate per a nel piano di Z; il punto a corrisponde 
alla retta ab, e la superficie è ancora il luogo delle rette che dai punti % 
vanno ai punti x ove K è incontrata dalle corrispondenti rette X. Ciascun 
piano per A contiene $ generatrici concorrenti in uno stesso punto della di¬ 
rettrice A, che è una linea (r)P la per la superficie; donde segue che per un 
punto qualunque di A vi sono r — s generatrici coincidenti in A, e per cia¬ 
scuno degli r — s punti di A che corrispondono alle tangenti dei rami di E 
non toccati da ab, r — s •+■ 1 generatrici coincidono in A . 
Viceversa, data una curva piana K d’ ordine n = r + s , dotata di un 
punto r{-*-s) pl ° a, e data una retta A i cui punti % formino una punteggiata 
projettiva al fascio delle rette X condotte per a nel piano di K, in modo 
che al ponto % — a corrisponda la retta ab che in a tocca s rami di K ( ed 
ha ivi r •+• 5 punti coincidenti comuni colla curva ) ; il luogo delle rette %x 
che uniscono ì punti di A ai punti ove K è incontrata dai corrispondenti rag¬ 
gi X sarà una superficie del grado n. In fatti, assunta una trasversale arbi¬ 
traria T, si otterrà, come nel caso generale, una conica che, passando per 
a e toccando ivi ab, incontrerà K solamente in altri n punti x (**). 
In entrambi i casi (siano cioè le direttrici A, B distinte o coincidenti) 
la superficie gobba è del genere ^ ~~ _ r ( r ~~ *) __ «(«— *) _ 
2 2 2 ~ 
V* Ma questo numero si potrà abbassare quando la curva K ab¬ 
bia altri punti multipli, epperò la superficie abbia generatrici multiple. 
