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La longueur CM=æ est donc comprise entre z m et z m cotg a m . 
Voyons si elle diffère de la moyenne de ces longueurs. Pour le 
vérifier, supposons-la égale en posant : 
x m = Y ( cot 8 «o + cotg a J = y (1 + cotg aj (5) 
Constatons d’abord que, avec cette relation : 1° pour 2 = 0, 
æ m = 0 ; 2° pour a m = 0, cotg a m = oo, x = oo, ce qui doit être. 
A y 
Pour que la courbure soit convexe vers le haut, il faut que T — 
A x 
soit partout plus petit que ^ , ce qui se vérifie. Cela résulte du 
décroissement continu de a à mesure que y augmente. 
Considérons deux points M et M'de la courbe (fig. 27) ; traçons 
les ordonnées et les parallèles MG et M'H à l’axe des x ; on aura 
MG = A x = H M' ; M'G = MH = A y. Menons les tangentes MK 
et M'I à la courbe en M et M' qui font les angles a et a' avec l’axe 
des x, et par M menons ML parallèle à M'I. Nous disons que 
M'K = M'L. 
S’il en est ainsi, le point I étant l’intersection de MT avec MK, 
on aura Kl = IM. Par I menons NIP parallèle à l’axe des x , on 
aura MN = NH = — A// et GP = PM' = -J9A y en même temps 
que NI + IP = Ax. 
1 1 
Or, NI = — Ay cotg a, IP = — A y cotg a'. 
Par suite, 
Ax = — A y (cotg a -f cotg a'). 
Ax— A y 
cotg a, + cotg a 2 \ = A J_ fcos^ 
2 J ' 2 y si il 
A y f sin a 1 sin a 2 + cos cos a 
2 y sin oc L sin a 2 
Ay 
Posons a 2 = a A + A a 
1 sin («! + « 2 ) 
2 sin sin a 2 
Ax 1 sin (2 a l + Aa) 
A y 2 sin 1 2 a 1 -p sin <x 1 Aa 
cos a 2 
sin a 2 _ 
