OSTROGRADSKY. 
о = F(x,x) (^,/) + Ш JTI (X, j)] Z“-' +. 
en sorte que z satisfera à la fols à deux équations différentes du degré m, équations 
qui ne peuvent pas avoir des facteurs communs; par conséquent on pourra, comme 
on le sait par la théorie des équations, exprimer la quantité z par une fonction ra¬ 
tionelle des coëfficiens des deux équations auxquelles elle satisfait. C’est-à-dire, par 
une fonction rationelle de a: et (\e y; donc, si l’intégrale 
/j 
r (x, r) 
dx 
est algébrique, elle ne peut être qu’une fonction rationelle des variables x et j. 
Désignons par et Ф(х,У) deux fonctions entières de x et de j, et con¬ 
sidérons la fraction rationelle ^ 7 -^; J est une des racines de l’équation (i); re- 
présentons per J,, autres racines de la même équation, et donnons 
à la fraction la forme suivante : 
ф{х,у) 
(p(x,j) Ф{х,у^) ф(х,у^) - Ф{х,у^_У) 
ф (я^.7) Ф{^-,7і) Ф{х,72) - Ф{^>7п-і) 
laquelle forme revient à multiplier haut et bas de par Ф{х,у^') 
Il est évident que le dénominateur de la fraction 
(p{x,y) ф{х,у^) Ф{х,у^) - Ф(х,у^_у 
Ф{х,у) Ф {x,yj Фі^х,у^) - Ф 
est une fonction entière invariable des racines de l’équation (i). On peut le considé¬ 
rer comme une fonction entière des coëfficiens de l’équation (i), ou bien, comme une 
fonction entière de la variable x. Quant au numérateur tp (x,y) Ф Ф(^,Уз) 
- Ф (x,y^_^) , on y remarquera d’abord que le produit Ф (^, J,) Ф (-^'i Ja) - 
Ф est une fonction entière invariable des racines y^ .i» qu’on 
peut, par les procédés connus, exprimer par une fonction entière Ѳ (-^^y) de x et 
de y; on en éliminera ensuite au moyen de l’équation (i) les puissances de su- 
