OSTROGRADSKY. 
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donne 
^ _ _ f (^) . 
/'(y)’ 
mettant cette valeur dans la formule (3), nous obtiendrons l'e'quation 
( 4 )- r- -=- 4r^' 
qui servira à de'terminer la fonction У et les coëfficiens -<Г, , .des puis¬ 
sances de y dans la fonction 
, y (дг, j) — ^ -^1 . 
Pour résoudre l’équation (4) il faut éliminer d’abord de son premier et se¬ 
cond membres les puissances de j supérieures à / 2 - 1 . L’élimination se fera en ef¬ 
fectuant la division de chaque membre, relativement à la quantité j, par f (x,f), 
et en égalant les deux restes des divisions, on obtiendra une équation qui ne ren¬ 
fermera dans chaque membre que les puissances de j, inférieures à / 2 , Ensuite, on 
égalera entr’eux les coëfficiens des mêmes puissances de j, et l’on cherchera à sa¬ 
tisfaire aux équations ainsi obtenues au moyen de l’inconnue У et des coëfficiens 
. 
II. Supposons d’abord que la quantité j soit donnée par une équation du pre¬ 
mier degré, la fonction F(^x,y^ deviendra fonction entière de .r, en sorte qu’en 
faisant F(^x,y^ — L, nous aurons à Intégrer la fraction rationelle 
/ 
Or, d’après ce qui précède, si l’intégrale f ®st une fonction algébrique de 
ДГ, hypothèse que nous allons examiner, cette fonction ne peut être qu’une frac¬ 
tion rationelle; donc, en désignant par Ç, Л', У trois fonctions entlèi’es de дг, on 
peut supposer 
(5) 
en même temps, on peut admettre que les fonctions Л" et -K n’ont point de divi¬ 
seur commun, et que le degré de la fonction X est Inférieur à celui de la fonc¬ 
tion y. 
