Suite du mémoire sur Vintégr. desfract. ration. 
I integrale precedente est alge'brique, il sera facile de de'montrer que les inte'grales 
f f f ^ dx seront alge'briques, chacune en particu¬ 
lier, et que Гоп aura ge'néralement 
! 
Ä étant une fonction rationelle de x. On peut admettre que la fonction R ren¬ 
ferme des facteurs multiples, mais il suffit de supposer que la plus haute puissance 
de chaque facteur linéaire contenu dans R, ne surpasse pas n — i, car, dans le 
cas contraire, l’équation y'* ~ R pourrait être simplifiée. 
Quant à l’intégrale 
/(£,/-+£,/-+ ... L„_^y^L„)dx, 
OÙ y est donnée par une équation algébrique 
^ 2 , ••• étant des fonctions entières de дг, on aura à traiter, pour la trou¬ 
ver, des équations plus composées que celles que nous avons résolues; cependant 
la solution en est toujours possible, en sorte qu’on pourra toujours trouver 1 inté¬ 
grale d’une fonction algébrique, quand cette Intégrale est elle-même une fonction 
algébrique. Mais, si l’opération transcendante qu’on indique par y', ne se réduit 
pas aux opérations algébriques, alors on doit chercher à la réduire aux opérations 
algébriques et transcendantes, en n’admettant parmi ces dernières que celles dont 
les propriétés nous soient connues. Mais le problème devient alors très difficile. 
Abel a donné une méthode pour trouver l’intégrale de la forme J -^dx., y- ~R, 
quand cette Intégrale peut être représentée par les seules quantités logarithmiques, 
et quand X et jR sont des fonctions entières. J’ai trouvé depuis peu qu’on peut tou¬ 
jours trouver l’intégrale y » y^~R, quand elle est réductible aux 
quantités algébriques et logarithmiques, X, M et R étant des fonctions entières 
de X. J exposerai mes recherches sur cet objet dans un autre mémoire. Quant à 
