X 
_ n(n-l) (/1-2) i , »-2 I 
K — 2-3 > n A'"t"^2 
fT, Cj, Cjj.sont des constantes arbitraires. 
La première des équations précédentes fait voir que z est une fonchon rationelle 
de /j, . f- et de x; les autres équations donnent les valeurs des quantités 
.lesquelles étant mises dans Téquation (a), celle-ci deviendra 
+ + + +. 
et elle nous apprendra ce que nous savions déjà, savoir que ^-f- —- — r. 
Ainsi l’hypothèse que les deux équations (a) et (ù) n’en font qu’une, conduit à re¬ 
garder l’intégrale г comme une fonction rationelle de /^ , ,.et de x. 
Supposons maintenant que les équations (a) et (l) soient dlflérentes, alors on 
peut regarder, d’après la théorie des équations algébriques, l’intégrale z comme 
une fonction rationelle des coëfficleiis de ces deux équations, c’est-à-dire comme 
une fonction rationelle de -7^. -гч r et de jr. Cette 
dernière hypothèse renferme l’hypothèse précédente comme cas particulier; nous 
l’ad(q)tcrons dans ce qui suit; ainsi г est une fonction rationelle de /^, 4.A, 
, y et de д:. 
dx dx dx 
Dlfférentloos féquatlon 
Z —fydx 
en y faisant tout varier; nous aurons 
dz 
ITx-y- 
Le premier membre de cette équation ne doit renfermer aucune des quantités 
/j, ./^, autrement ces quantités seraient liées entr’elles par une équation al¬ 
gébrique ; il faut donc que la dlflérentlelle de par rapport à chaque quantité 
. Л, considérée comme variable indépendante, soit zéro; or, comme 
■t d Z J d Z J d Z J d Z j dz j d z 
O • — d » — d • — d • —- d • — d • — » 
dx _ dtj dx _ dt^ dx _ dtj 
dt^ dx ’ ' dir, ~~ dx dti dx 
nous aurons 
d • ~ ZZO, d • ~ — O . d HZ O ^ 
dl^ ’ dt^ - dt- 
ce qui donne 
i 
