6 
tento paprsek procházeti bodem r. Avšak týž paprsek náleží dle 3 b) ploše 
i/> 2 , je to tedy paprsek P. Z toho jde, že plocha ip 2 dotýká se plochy l 2 
v bodě r, při čemž ale mohou nastati dva případy, totiž 
A) paprsek P jest různý od paprsku R , 
B) paprsky tyto se sjednocují. 
10. Přihlédněme ku případu A. 
Mysleme si přímkou Q položenou libovolnou rovinu co (u) . Tato rovina má 
se soustavami R 2 a P 2 společné přímky R (,,) a / Xn) protínající Q v bodech 
d (n) a ^ (n) . Poněvadž řady bodů <A n) ... a <? (l,) .. . jsou projektivně se svazkem 
rovin oa (n) , jsou i spolu projektivně a poněvadž mají jeden reálný dvojný bod, 
totiž r, musí míti ještě jeden reálný bod dvojný, který nazveme i 1 , anebo jsou 
obě řady totožné. 
V tomto druhém případě procházejí každým bodem d {n) = č ( u) = r (,l) dvě 
obecně různé přímky R {n) a Z* 00 ležící v rovině w (,,) svazku Q. Z toho jde, že 
póly všech přímek soustavy R 2 jsou na přímce Q a že tedy soustava tato 
náleží k druhu 3 a). Obě plochy l 2 a \jj 2 dotýkají se v tomto případě dle 
přímky Q a mají kromě této přímky ještě dvě společné přímky soustavy R 2 . 
Z přímek soustavy Q 2 náležejí v tomto případě čtyři komplexu; jsou to 
přímky v rovinách tz w . Kdyby ještě některá z přímek Q 2 byla paprskem kom¬ 
plexu, byla by celá tato soustava, tedy i vytčená přímka Q v komplexu (5) 
a soustava R 2 přešla by v komplexový svazek 2. řádu. 
11 . Větší rozmanitost’ poskytuje případ, ve kterém řady d {n) ... a e w se 
nesjednocují. Jest tu rozeznávati následující dvě možnosti: 
a) Přímky P‘ a R‘ procházející bodem s jsou nižné , 
b) přímky tyto se sjednocují. 
Ve přípaidě a) obě plochy g 2 a \p 2 dotýkají se v bodech r a s a mají 
tedy kromě přímky Q ještě společnou křivku třetího řádu C 3 , která prochází 
body r a s. O této křivce obsahující póly všech přímek R 2 tvrdíme, že pro¬ 
chází všemi body a k \ Abychom to dokázali, myslíme si libovolnou jinou 
přímku Q 1 plochy l 2 a plochu i p 2 ‘ obsahující póly všech paprsků tuto přímku 
protínajících. Tato plocha musí procházeti křivkou C 3 a protíná tedy plochu 
ip 2 ještě v přímce, již nazveme U. Přímka tato jest doplňkem křivky C 3 na 
C 4 . Paprsky mající póly na přímce U protínají mimoběžné přímky Q a (j 
a nemůže tudíž přímka U procházeti některým z bodů <T k) , neboť by potom 
paprsky mající na ní své póly tvořily rovinný svazek 1. řádu. Neprochází-li 
ale přímka U žádným z bodů d u \ musí křivka C 3 procházeti všemi (6), jak 
jsme tvrdili. Plocha l 2 náleží v tomto případě ke druhu 3 b) a má plochu 
druhu 3 a) za plochu doplňkovou. 
v 
Čtyři přímky Q 2 procházející body <T k) jsou v tomto případě v komplexu. 
Kdyby ještě pátá přímka této soustavy byla v komplexu, náležela by mu 
soustava Q 2 celá (5); křivka (7 3 , majíc paprsky Q 2 za tětivy, byla by křivkou 
základní* a plocha l 2 přešla by v komplexovou plochu kuželovou. 
* Tamtéž str. 35. 
40 
