12. Budeme se nyní zabývati případem 11 b). 
Uvážíme-li, že přímka P‘ obsahuje póly všech přímek ležících v rovině 
(R‘Q) a že přímky P* a R l se sjednotí, musíme rozeznávati tyto případy: 
cl) Určitý od bodu s rozdílný bod r l přímky R‘ = P' jest jejím polem , 
8) každý bod této přímky lze pokládati za její poj 
y) bod s jest jejím polem . 
Ve případě a) plochy <y 2 a ip 2 mají kromě přímky Q ještě společnou 
přímku R‘. Z toho jde, že musí se protínati ještě ve křivce 2. řádu C 2 , která 
obsahujíc póly všech přímek soustavy R 2 , prochází body r a r‘. Křivka tato 
nemůže se rozděliti ve dvě přímky, neboť jedna z těch přímek, obsahující póly 
všech přímek soustavy R 2 , musila by procházeti body r a r\ tak že by bodem 
r procházely tři přímky plochy l 2 , t. j. kromě r P ještě přímky R a Q. 
Myslíme-li si kromě přímky Q plochy l 2 ještě přímku Q 1 této plochy 
a plochu \p 2 ' k ní příslušnou, musí \p 2 ‘ procházeti křivkou C 2 a protíná tedy 
plochu ifJ 2 ještě ve křivce 2. řádu Cj, která jest doplňkem křivky C 2 na C x 
vzhledem ku přímkám Q a Q‘. Soustava R 2 ‘ tvořená paprsky, které mají na 
C 2 ‘ své póly, jest doplňkem soustavy R 2 . 
Každá z křivek 6" 2 a C 2 \ tudíž i každá ze soustav R 2 a Rj prochází 
dvěma body a m a protíná každou z rovin V k) těmto vrcholům protilehlým 
ještě v jednom bodě, který jest polem přímky náležející soustavě R 2 nebo R 2 ‘ 
a ležící v této rovině d k) . Z toho jde, že plocha l 2 prochází dvěma z vrcholů 
a (k ' a dotýká se stěn čtyřstěnu z/, které jsou těmto vrcholům protilehlé. 
13. Ve případě (i) musila by býti přímka R r hranou čtyřstěnu z/, na př. A J2 
Plochy g > 2 a xp 2 měly by potom kromě přímek Q a R ještě společnou křivku 
druhého řádu C 2 , která by hranu A 12 protínala a bodem r procházela. Plochy 
ip 2 a i p‘ 2 protínají se v tomto případě ve křivce C 2) dále ve přímce A 12 a tedy 
mimo to ještě v jisté přímce C A soustavy Q 2 , která protíná hranu A í2 . Tato 
přímka jest doplňkem křivky C 2 a přímky A 12 na U 4 vzhledem ku přímkám 
Q a Q 1 . Poněvadž přímka C ] z téhož důvodu jako v 11 a) nemůže procházeti 
žádným z bodů a rk) a poněvadž hrana A l2 prochází vrcholy a' a a“, prochází 
křivka C 2 body a tn a a lv . 
Plocha prochází v tomto případě vrcholy a‘“ a a ly a mimo to hranou 
Aj o, tedy i body d a a". 
Ve zvláštním případě křivka C 2 může se rozděliti ve dvě přímky, totiž 
ve hranu A 2i a ve přímku Q. Přímka C x by v tomto případě protínala i hranu 
A 3i a plocha l 2 procházela by hranami A lq a A 3i . 
Doplňková plocha plochy X 2 dotýká se ve případě j) všech rovin n {k) a 
obsahuje jednu, ve zvláštním případě dvě protilehlé hrany čtyřstěnu z/. 
14. Ve případě y) plochy qp 2 a ifJ 2 mají společné přímky Q a R\ tak že 
zbývající čásť jejich průseku musí býti zase 2. řádu. Na této části jsou póly 
všech přímek soustavy R 2 a musí tedy procházeti body r a r 1 . Poněvadž ale 
oba tyto body jsou na přímce Q, musí tato čásť rozděliti se ve přímku Q a 
v nějakou přímku R w soustavy R n . 
Z toho jde, že plochy V a \p 2 dotýkají se v tomto případě dle přímky 
Q a že řady a {n ... a e {n) .. . jsou totožné. Přímka lí {k] může býti ve zvláštním 
41 
