10 
Libovolný paprsek R soustavy R (1 protíná roviny n V) v bodech z/z (k) , z nichž 
body ///'" a z/z lv jsou na Q n> rcsp. Q' v . Promítneme-li tedy tyto průsečníky na 
hranu A 1<2 rovinami procházejícími hranou A 3i , obdržíme body ď, d , / 12 , /' 12 , 
pro než platí rovnice 
(z/z' z/z" ///'" m 1V ) — (a 11 ď / 12 /' 12 ). 
Je-li Q libovolný paprsek ze soustavy Q 2 a zz (k) jeho průsečník s rovinou 
77 ’ j est ( n ' /z" zz'" zz lv ) — (zz" a‘ l\ 2 / l2 ), 
poněvadž body /z"' a zz lv jsou na přímkách R in a R lv . 
Aby přímka Q byla paprskem komplexu, musí býti 
(z/z' z/z" m l,t z/z TV ) — (/z' n " /z"' /z lv ) ~ charakteristickému dvojpoměru tetraedrálného 
komplexu,* a tudíž i (a 11 zz' / 12 / 12 ') z= (zz" zz '/' l2 /, 2 ), z čehož následuje, že vy¬ 
tčený charakteristický dvojpoměr musil by býti harmonický. 
18. Komplex tetraedrálný s harmonickým dvojpoměrem budeme jmenovati 
harmonickým. Dle toho, jak tento dvojpoměr jest tvořen, obdržíme při témž 
základním čtyřstěnu A tři od sebe různé komplexy harmonické. 
Označíme-li zase zzz (k) průsečníky libovolného paprsku R s rovinami zr k) , 
obdržíme tyto tři komplexy, je-li bud 
(z/z' z/z" ///'" m lv ) — — 1 , nebo (z/z" z/z'" m ' z/z lv ) = — 1 anebo konečně 
(z/z'" z/z' z/z" z;z lv J zz — 1 . 
O prvním z těchto komplexů pravíme, že jest harmonický pro hranu A x<1 
nebo A 34 , druhý pro A 23 nebo A Ál a třetí pro A l3 nebo A 2i . 
Myslíme-li si totiž na př. ve případě prvním body z;z (k) promítnuty rovi¬ 
nami procházejícími hranou A 34 nebo A X2 na hranu A i2 , resp. A 34 , obdržíme 
na této hraně kromě dvou bodů zz (k) dva body l a které ony vrcholy har¬ 
monicky oddělují. Jest totiž 
(zzz' z/z" m lli z/z lv ) — A 34 (//z' z/z“ zzz'" zzz lv ) — (zz" a‘ l X2 /' 12 ) — — 1 
(z zz' 
zzz" zzz 
"' mP) — A l2 (zzz' zzz" zzz"' zzz lv ) zz (/ j4 /' 34 zz ,v zz"') — — 1 
a podobně ve druhém případě 
(zzz" zzz"' zzz' zzz lv ) — A x2 (z/z" z/z"' zzz' zzz lv ) zz (zz'" zz ,v / 23 /' 23 ) zz — 1 
zz A 23 (zzz" z/z"' zzz' zzz lv ) zz (/, 4 /' 14 zz ,v zz"') zz — 1 atd. 
19. Ačkoliv z odstavce 17. jest zřejmo, že v komplexu harmonickém, na 
př. pro hranu A l2 (tedy i A 34 ), jest nekonečné množství ploch 2. řádu, dotý¬ 
kajících se buď rovin zz" a zz' v bodech a 1 resp. zz", nebo rovin d v a zz"' v bo¬ 
dech zz"' a zz lv , jejichž přímky obou soustav jsou v komplexu, dokážeme to 
ještě jiným způsobem. 
Budiž C ( , křivka 2. řádu, která prochází body zz"' a aP' a dotýká se v nich 
rovin 77 1V a zr"\ Určeme plochu tvořenou paprsky, jejichž póly vzhledem ku ploše 
q 2 (odst. 1 .) jsou na C 2 . Polárné roviny 7 všech bodů křivky C 2 vzhledem ke 
ploše q> Q obalují plochu kuželovou 2. řádu, jejíž střed i - jest na hraně A l2 a 
v 
která se dotýká rovin n l “ a d v ve přímkách W v a sa ut . Rada bodů na C 2 jest 
se svazkem tečných rovin této plochy projektivná, při čemž bodům zz"' a a n 
Reye »Geom. der Lage« II. Abth., S 138. (2. Aufl.) 
44 
