12 
O harmonickém komplexu osovém. 
21. Jsou-li plochy q 2 a g' 2 konfokálné, jest čtyřstěn A základním čtyř¬ 
stěnem každé z těchto ploch; tři jeho vrcholy, na př. a“, a! 11 a a' v jsou v ne¬ 
konečné vzdálenosti a čtvrtý vrchol ď jest společným středem obou ploch, 
hrany A x2 , A }3 a A x 4 jsou jejich hlavními osami. Komplex tetraedrálný jest 
potom tak zvaným komplexem osovým. 
K určení tohoto komplexu dostačí též jediná z daných ploch, na př. g 2 . 
Je-li totiž q libovolná rovina, r její pol vzhledem k g 2 a R kolmice z něho 
na rovinu o spuštěná, jest tato kolmice paprskem komplexu. Paprsky tyto vy¬ 
značují se tedy tím, že jejich poláry vzhledem k které jsou jak patrno zase 
paprsky komplexu, jsou na nich kolmý. Osy rovinných průseků plochy g 2 jsou 
paprsky tohoto komplexu. 
Výsledky, jichž nabyli jsme pro obecný komplex tetraedrálný, platí i o kom¬ 
plexu tomto. Zbývá jen pojednati o tom, jak určití plochu g 2 , aby poskytla 
harmonický osový komplex pro některou z hran A ik . Ukážeme, že lze jeden 
z hlavních průseků plochy g 2 voliti libovolně. 
22. Budiž průsek žádané plochy q 2 na př. s rovinou n >n dán; označme 
jej H u> . Hleďme sestrojiti plochu g 2 tak, aby osový komplex jí určený byl 
harmonický 
a) pro hranu A xz J_ n lt> . 
K tomu cíli veďme kterýmkoli v bodem h ÍU křivky //''' přímku M v ro¬ 
vině n‘ n tak, aby její úsek obsažený mezi osami A l2 a A 1X byl bodem h uí 
rozpůlen. Každá přímka R vedená bodem lť l> v rovině jest paprskem 
komplexu. Ustanovme poláru R x této přímky vzhledem k neznámé dosud 
ploše g 2 . 
Tato polára musí býti 1) paprskem našeho komplexu a 2) musí býti 
v rovině tečné z plochy q 2 v bodě Tato rovina tečná jest určena bodem 
a 111 (v nek. vzdál, na A 13 ) a tečnou T křivky //'" v bodě h‘“. 
Z 1. podmínky vyplývá, že úsek přímky R x obsažený mezi rovinami n" 
a n' musí býti rovinou n ,n rozpůlen a jelikož tato přímka musí býti v rovině 
r, prochází bodem t , který rozpoluje úsek tečny T obsažený mezi přímkami 
A 12 a A ]X . Poněvadž dále komplex, o nějž jde, jest osový, musí býti R x J_ R , 
čímž jest přímka R x určena. 
Jmenujme i a i x průsečníky přímek R a R x na př. s rovinou n lt . Tyto 
body musí býti spolu sdruženy vzhledem k neznámému dosud průseku H“ 
plochy q 2 s rovinou n 11 . Tím však jest tento průsek dokonale určen, neboť 
prochází průsečníky přímky A ]X s H‘“, má přímky A í3 a A l4 za osy a body 
za i 1 jsou vzhledem k němu spolu sdružené. Křivkami H ,u a H tl jest plocha 
q 2 určena. 
Je-li křivka H‘“ ellipsou, lze k ní sestrojili tečnu tak, aby úsek její obsa¬ 
žený mezi přímkami A ]2 a H 14 byl bodem dotyčným rozpůlen. Vezmeme-li 
tento bod dotyčný za bod h'“, bude každá přímka tímto bodem v rovině z ve¬ 
dená paprskem osového komplexu, z čehož jde, že tento bod jest pro plochu 
46 
