8 
9. Stopy £2 na rovině o všech ploch vytčeného svazku tvoří svazek kuželo¬ 
seček, a vytvoří tedy i družiny G, II bodovou involuci na přímce oo‘ a tudíž 
i družiny, do nichž se z bodu A na Z promítají a jež označíme G,,, Ií q , též 
bodovou involuci, jejíž střed d snadno sestrojíme; obě involuce jsou projektivně 
se svazkem kuželoseček a tedy i s řadou bodů X na Z. 
Zvrhlá čára svazku kuželoseček se skládá z přímek AA n a A W, *) nalézá 
se tudíž bod ů na přímce A W. Libovolnou další čáru £2 svazku vytkneme 
jakožto kollineárnou čáru ku Z, volíme-li A za střed kollineace a přímku ně¬ 
jakou o bodem A vedenou za osu kollineační; její průsečný bod X s čarou 
Z jest arci na čáře £2. V této kollineaci přiřaďující čáře Z čáru £2 nutno při- 
řaditi bodu W 2 bod W, značí-li W 2 druhý průsečný bod přímky A W s čarou Z. 
Abychom nalezli body 6r 2 , H 2 , počítejme přímku qo* do téhož systému, v němž 
se 12 nalézá, a sestrojme kollineární přímku; tato protne patrně Z v bodech 
6r 2 , H,. Za tím účelem vytkněme průsečný bod M přímky qo‘ s osou o a sta¬ 
novme k dalšímu bodu přímky qq\ na př. k bodu A 0 kollineárný bod A‘ 0 
pomocí družiny W, W 2 ; spojnice A\ ) M obsahuje body G 2 , H 2 a protíná tedy 
přímku A W v hledaném bodě d. Označivše literou N průsečný bod přímek 
A 0 W a A‘ 0 Wo arci na ose o ležící, snadno poznáváme z úplného čtyrrohu 
A 0 A‘„MN, že dvojiny bodové A, A ; W q , d 2 ; W, d jsou družiny involuce, 
značí-li d q průsečný bod přímek AW a. oo 1 . Jest tedy A dvojným bodem in¬ 
voluce, v níž W 2 , d 2 a W, d jsou dvě družiny, z čehož plyne snadná konstrukce 
bodu d. 
Otáčí-li se paprsek o kolem bodu A , vytvořuje svazek projektivný s řadou 
bodů X na A a současně perspektivný se svazkem paprsků óM o vrcholu 
d, při čemž qq‘ jest osou perspektivní; z toho vychází, že body 6r 2 , H 2 jsou 
družinou involuce na Z projektivně s řadou bodů X , jakož jsme tvrdili. 
10. Promítneme-li G 2 , H 2 z bodu A na přímku qq\ obdržíme body G , H, 
a promítneme-li tyto z bodu X na Z , obdržíme body G x , H x . Každá čára £2 
vytknutého svazku podává takto jednu družinu 6r,, a tyto družiny tvoří 
na Z involuci projektivnou se svazkem čar £2 a tedy i projektivnou s řadou 
bodů X. 
Skutečně zvolivše bod X na Z, veďme přímku AX, která protíná oq' 
v bodě M , veďme přímku dM protínající Z v bodech 6r 2 , H 2 , promítněme 
tyto body z A na qq 1 do (r, H a tyto opět z X na Z do bodů G X) H x \ 
i vidíme, že bodu X přísluší jedna družina G l , H x . 
Zvolíme-li naopak bod G { , obdržíme jeden příslušný bod X a jeden bod 
B, tvořící s 6r, družinu. Skutečně zvolivše X„ libovolně na Z , proveďme právě 
vytknutou konstrukci opačným postupem, tedy veďme G x X 0 , jenž protne qq‘ 
v bodě G, veďme GA, která přímka protíná Z v bodě 6r 2 , veďme G 2 d , jenž 
protne no 1 v bodě M a veďme konečně MA , jenž vytkne na Z bod X n i 
každý takto vytknutý bod souvisí s následujícím patrně projektivně a tedy též 
první X 0 s posledním X 0 . Splynou-li body X 0 a X' 0 , máme hledaný bod 
Čtenář nechť si laskavě obrazec sám zhotoví. 
84 
