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M. Hermite, dans sa notc »Sur 1’intégrale elliptique dc troisicmc espcce«, 
Comptes rendus t. XCIV, p. 901, détermine la valeur précise du logarithme 
dans le cas des fonctions complětes 
K 
n, ._ r k 2 sna cna dna sn 2 x , 
n («) — / —-— dx, 
o 
K+iK‘ 
/ k 2 sna 
1- 
k 2 sn 2 a sn 2 x 
cna dna sn 2 x 
— k 2 sn 2 a sn 2 x 
dx, 
K 
en supposant les deux intégrales rectilignes. Dans ce qui suit je parviens aux 
mémes résultats par une voie nouvelle, qui, peut-étre, ne sera pas sans 
intérét. 
( 2 ) 
On a 
% (x — a) 
@ (x — a) 1 2 g cos K 
&(x+a) - 1-2 o, «(» + <») + , 
xL 
i , (x — a) 
1 — 2g 3 cos . -h 2 6 
7r (a? + a) 
1 — 2 q 3 cos —=1—- -{- g b 
K. 
et il s’agit de ťaccroissement du logarithme de cette expression, la variable 
réelle x allant d e o h K. Touš les facteurs de ce produit sont de la formě 
A 1 - 2 q cos - {X ~ - a) - 4- q 2 
5 
(oj + a) , , 
1 — 2 ^ cos -—- T> !—- -f 2 
K 
et si l’on pose a ~ a /? i, « et /? étant réels, on trouve 
71 (3 
T 
^ = 1 + ť — 2 \« +e 
71 (3 
K 
B — l-\-q 2 — q\e e 
Faisons 
7i(3\ 
K 
7_1_P\ 
K 
sin 
cos 
sin 
ti (x — a) 
K 
71 (X -j- «) 
K 
A, — 1 -f- q 2 — A z= | -f* i r), 
B l — l + q 2 — Bzz£ l +i rj„ 
et nous aurons 
71 (3 7 t(3\ 
K ~K 
g — q\e + e 
| ti (x — a) 
— cos- 
71 (3 
K 
9i — 2 \e —e 
7^) 
K 
9 
K 
7) . 7t (x — a) 
—- = sin- 
9i 
ii- = cos- ,t(;B + “ ) 
K 
V\ _ 
--- — — sin 
K 
7C (x a) 
K 
Soit, en premier lieu, p o, donc aussi g x o. Si la variable réelle eroít de x 
á x + K, les points A, et B x décrivent chacun la moitié ďune ellipse aux 
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