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demi-axes g , g í et dont le centre est á Torigine, A , parcourant la demi-ellipse 
dans le sens positif, B , dans le sens négatif. Si, spécialement, x va de o á K, 
les points A { et 5, partent de la méme position initiale; donc les points 
A et B partant ďun méme point parcourent aussi chacun la moitié ďune 
seconde ellipse qu’on obtient par une translation de la premiére ellipse suivant 
1’axe réel et de grandeur \ q 1 ] A se mouvera dans le sens positif, B dans 
le sens négatif. 
Si 1’origine se trouve en dehors de la seconde ellipse, 1’argument de A 
A 
eroitra de la méme quantité que largument de B, et largument du quotient — 
H 
reprendra sa valeur initiale. Si, au contraire, ťorigine se trouve á 1’intérieur 
de la seconde ellipse on aura, cp étant 1’accroissement de Pargument de A, pour 
Paccroissement de 1’argument de B évidemment — (2 v — c/<), de sortě que 2n sera 
A 
1’accroissement de largument de-g-. Or, le premier cas a lieu si l’on a 1 -f- q* fft 
et le second si l’on a 1 -f" <C 9 \ ainsi c’est 1’inégalité 
<Z + 
3 
71 (3 
K 
e + e 
71 (3 
K 
c’est-á-dire 
K‘ 
ti 2P 
P, 
qui en décide, étant posé q — e 
Maintenant puisque les facteurs de produit (2) sont donnés par g- si l’on 
y met á la plače de q successivement q , q 3 , q 5 ,.. on a le résultat suivant. 
Si p se trouve entre (2 g —1) K' et (2^+1) K\ g étant un entier positif, 
largument des facteurs qui correspondent aux valeurs + * 2 ‘ a ^ 
ne change pas, tandisque 1’argument de chacun des g facteurs qui correspondent 
2 g —1 
á q , q\ .., q saccroit de 2^, et par-lá largument du produit infini (2) 
de g2 n. Par cela la formule (1) donne dans la cas de p > o 
n ^= K w +ř ‘* ť - 
Supposons, en second lieu, p o, donc aussi g 1 <. o. Rien ne change dans 
ce qui précéde que le sens dans lequel les points A et B décrivent les demi- 
ellipses, de sortě que, 1’origine étant á 1’intérieur de la seconde ellipse, on 
trouve — 2 n pour 1’accroissement de 1’argument de -g-. On a donc, p étant entre 
— (2 g —1) -5? et — (2 g *d~l) 
©‘(a) 
n(a) - K ~@{á) 
Pour traiter ďune maniére analogue la seconde fonction complěte, remar- 
quons qu’on a, ďaprés (1), 
ilV(a) — iK‘ + 1 
©(a) 
L , 
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