4 
Dosazením s x, resp. Nx za x do těchto integrálů obdrží výraz tento tvar: 
b 
J - fW-fjNx) ^ 
lim 
s — 0, N ~ oo 
x 
a 
1 
Jelikož a, b jsou kladné, jest funkce — konečnou a spojitou v mezeře 
x 
(a ... b). Předpokládáme-li o funkci f{x), že jest na místech x — 0, x — vjo 
spojitou , máme 
f{sx)=m+d, 
f(Nx) — f{oo ) J r 8\ 
kde veličiny ú, 8‘ jsou tak malé, jak libo, jsou-li jen veličny t , dosti malé. 
Dle toho bude pak výraz (1) roven veličině 
b b 
[AO)—A°°)] f—+ rs — ó 1 
i/ x 
a 
lim 
£ ~ 0, N ~ oo 
X 
dx , 
a 
a poněvadž z uvedené vlastnosti funkcí 8 a <P plyne, že poslední limita jest 
nullou, máme konečně jakožto hodnotu integrálu (1) výraz 
b 
|7(0W(°°)] 
a 
dx 
x 
jenž se právě rovná pravé straně rovnice (1), která tedy tím jest dokázána. 
Podotkněme ještě, že uvedený důkaz předpokládá u funkce f(x) pouze 
schopnost integrace (integrabilitu) a spojitost její na místech x ~ 0, x — oo. 
2. Klademe-li v integrálu Frullaniově ani, b — c, což není nikterak obec- 
/ b \ 
nosti na újmu (ano lze vždy klásti ax~ z, — == c J , obdržíme vzorec 
0 
oo 
r ( 
A#) 
X 
f{CX ) 
CÍC 
c 
j áaj=[A0)~A°°)] i°g c ; 
levá strana jest však pouhým zvláštním případem integrálu 
b 
J —J [A«) — f(<P) 9> J («?)] dx, 
a 
a sice vznikne odtud dosazením cx za g (x), 
f{x) 
x 
za f(x) a volbou a — 0, b — 
My vyčíslíme integrál J za supposice, že g (ar) znamená konečnou a spo¬ 
jitou funkci na mezeře (a ... .b) (kde a b), která hoví podmínkám g {a) — a, 
cp(b) — b, a má v této mezeře kladnou derivaci <)'(#), jež je v ní schopnou 
integrace. 
126 
