( 1 ) 
1. Maclaurinovským rozvojem funkce proměnné « 
1 - . — . — - . . — n 
— 1 + X, a + X 2 a 2 + . . . + X n a"+ .... 
y 1 — 2ax -f- a 2 
definované polynomy X ( , X 2 ,... X n , ... slují Legendre ovými; je tu totiž X n 
celistvou funkcí x stupně n, a sice sudou neb lichou, jak jest n sudé neb liché. 
Značí-li q 1 , o 2 kořeny rovnice kvadratické 
1 — 2 ax a* — 0, 
takže Qi q 2 — 1, bude 
1 — 2 a x -f* a 2 — (1 — a) (1 — q 2 cc) 
a rovnici (1) lze psáti 
(i*) 
oo 
X a 
j n 
n 
V B= , 0 
kde za odmocniny \A 1 — p, a > « dlužno voliti t. zv. hodnoty hlavní, 
jichž části reálné jsou kladny. 
Úkolem naším bude odvodí ti vzorec, kterým se dá X n pro veliká n sblí¬ 
žené vystihnouti. 
Za tím účelem differencujme rovnici (1) neb (1 a ): 
x — Ci 
(1 - 9 , a ) 2 (1 — 9 2 a) 2 
oo 
- V 
y TI - 1 __ rr 
/, nX n cc — F » 
» = 1 
a utvořme rozvoj výrazu 
V x — a 
a 
(1 — 9 , a ) 2 (1 — 9 2 a ) 5 (1 — 9 , a) - 
(1 - 9 2 a)' 
+ 
a 
1 — 9 2 « 
+ ^ , 
kde U jest řada obsahující vesměs kladné mocnosti veličiny 1 — p 2 a. Při 
tom předpokládáme , že | o, 
1 
o 2 í, takže U jest holomorfní uvnitř kruhu 
a 
o 2 j, a řada tamtéž absolutné konverguje. Veličina a, jež jediné nás 
bude zajímati, má hodnotu 
X — a 
« 
lim F(1 - 9 2 «) 2 — lim , 
_ JL a — Qi (1 — 9 , «)' 
Q* 
151 
