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Démonstration élémentaire de la formule asymptotique relative 
aux polynómes de Legendre. 
Dans cette notě nous avons considéré les polynómes X n et Z n donnés 
par les développements par la série de Maclaurin 
1 
y/ 1 — 2 a. x -j- oc 
1 
-2 
= 7 . X.« 
n 
n 
V 
Z n a n , 0 < ji < 1 , 
/ i 71 
(1— Zax + a 2 )* 1 
et avons obtenu leur valeurs asymptotiques sous la formě 
X n oo 
{x + Vx 1 — l) 
'X 
+ \f x 1 — 1 
V 2 n 
n 
V x 2 
* J n 
oo 
n 
P 1 
/ _ - s.n /x-\-V x 2 —1 
(x+Y%‘‘—i) , 
^ r w 
oú l’on suppose | x -f- \ x 2 — i >1, et les quantités 
'x+l/x 2 — 1 ( X-\-\/x 2 — 1 Y 
\/x 2 — 1 ’ V v x 2 — 1 / 
représentent les valeurs fondamentales des puissances de la quantité 
x + \/x 2 — 1 
\/x 2 — 1 
qui est bien définie par la condition appelée ci-dessus. 
Nous avons démontré aussi que les fonctions entiéres Y n données par le 
développement 
1 
\-\-r x a r 2 n l -j- ... -f- r «' 
ont pour valeur asymptotique 1’expression 
V 
= 2 
n 
o P 
1 n 
1/ 
nn G =2 
Qi—Qo 
-i 
(>, representant la plus petite racine, en valeur absolue, de Féquation 
1 -)-r, a- f- . ..-f-r^ cc P — 0 
et o a étant les inverses des autres racines de cette équation. 
Nos démonstrations réposent uniquement sur la comparaison des coefíi- 
cients dans les développements, par la série de Taylor, de certaines fonctions 
trés simples. 
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