Vzorec nadepsaný odvodil Legendre ve svém klassickém spise o inte¬ 
grálech elliptických v II. sv., str. 53ó. Týmž vzorcem zabýval se dále Jacobi , * 
jemuž podobně jako předchůdci jeho ušla jednoduchá podstata tohoto zjevu 
nikterak neobyčejného. Ukážeme, že vzorec ten plyne bezprostředně pomyslnou 
substitucí užitím věty Cauchyovy o integraci v oboru pomyslném, a poněvadž 
jest jen velmi zvláštním případem obecnějšího theorému, obrátíme se k od¬ 
vození tohoto. 
Budiž f ( t ) funkce jednoznačná uvnitř kruhu 1 1 \ — 1 v rovině sloužící ku 
znázornění komplexní proměnné t , a předpokládejme, že f(t) připouští inte¬ 
graci podél obvodu tohoto kruhu. Nechť má dále f(t) uvnitř kruhu pouze 
konečný počet míst zvláštních, a to póly stupně prvního c,, r 2 ,... c m o re- 
siduích R tl , různé od místa í — 0; konečně znamenej nám a 
kladnou veličinu reálnou a menší než 1, tak aby mezera (0 .... «) neobsaho¬ 
vala pólů c funkce f(t). 
Uvažujme pak integrál 
2 n 
J— f f{e í ’ p )e aiv (l-2acos v + a'f- 1 d<r , 
0 
kde (3 má reálnou čásť kladnou, a je celistvé a a — má reálnou čásť větší 
než — 1 ; mocnina (1 — 2 a cos cp -(- a' 1 )^ dána jednoznačně řadou binomi- 
alní a značí t. zv. hodnotu hlavní. 
Substitucí e — t obdrží integrál tvar 
J — — iJ ~ 1 dt ' 
Ml = i 
kde integrace děje se podél kružnice | t | — 1 ve směru kladném. 
Funkce/*^) (1 — a(f 1 t a 1 jest jednoznačnou uvnitř kruhu t — 1 , 
ale funkce (l-—) jest víceznačnou na místě t — a i na t — 0. Ve- 
demeli však řez (0- a), čímž kruh přejde v obor [$], bude funkce pod 
* Formula transformationis integralium definitorum. Crelleův žurnál sv. 15. 
161 
