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Déduction nouvelle de la formule de Legendre 
71 
cos nx dx 
0 
\/\ — 2 a cos x -j- a 1 
— a 
n 
^ • 2t Yl 7 
sin xdx 
0 
l/r 
a- sin* x 
Dans cette notě nous avons établi le theoréme suivant dont la formule 
précédente est un cas třes particulier: 
f(t) désignant une fonction uniformě á 1’intérieur du cercle j t — 1, n’y 
ayant que des póles simples différents de zéro c\, c Q ,... c m avec les résidus 
correspondants JRo,... JR m , en représentant ensuite par a une fraction posi¬ 
tive telle que 1’intervalle (0 ... a) ne contient aucun des póles c,, c 2 ,... c m on 
a la formule 
2 71 
J "* f{e^) (1 — 2a cos qp -(- a 2 )P ^ 
dej p 
0 
a 
“2sin/?7t J f(ť)t a P (t — a)P ^(1 — ať)P ^ dt 
0 
m 
2n^K v (l-ac/ 1 íl - 
V = 1 
±f-v- 
c / v 
v> 
dans laquelle a est un entier nul ou positif tel que la partie réelle de cc 
soit supérieure á — 1. 
P 
En prenant f(t) — t , a — 0, on a la formule 
71 
cosngp.(l— 2 a cos cp -f- a 2 Ý ^dqp 
0 
a 
— sin/? 7 1 t n P {a -ťf ^ ( 1 — ať)P 1 
dt 
0 
1 
qui pour p — —- devient celle de Legendre. 
On en déduit 
a 
(1 -t 2 )t P (a — t)P X (1 — at)P 1 dt _ 
1 — 2 1 cos x -f- ť 1 
. 71 (1 — 2 a cos x 4- a 2 )P ^ » 
sin pn 
0 
164 
