1. Nekonečná řada 
oo 
(I) 
R(u,iv t) = V 
qii 2 gin u - t i 
- q2 n glwŤtT 
n = — oo 
v níž q = e rnl značí komplexní veličinu absolutně menší jednotky, konverguje 
patrně pro všecka //, za stejnoměrně a jen pro ona za postrádá smyslu, pro 
něž mizí jmenovatelé jednotlivých členů ; jsou to řešení rovnice 
1 — q-in e 2 wm _ q } tedy w = m — nr , {m, « = 0, +. 1, +. 2, . . .) 
a na těchto místech má uvažovaná řada, považovaná, za funkci za, póly 
stupně prvního. Součin R(u,za [ r) 0 l (za | r) [kde t9, značí známou základní 
transcendentu elliptickou známky (charakteristiky) 11] jest patrně celistvou 
funkcí transcendentní vůči oběma proměnným u , za. 
Z výrazu (1) patrny jsou rovnice 
R (u, za) = R(u- 1— 1, za) = /č (u, zu - f- 1); 
další vlastnost funkce R plyne z té okolnosti, že v řadě (1) lze psáti n -f- 1 
místo n , čímž vznikne 
oo 
R (», jy) = ^ 
^ n 1 -f- 2 n-f I ^ 2 » u ji i + 2 u ji * 
= q e 2ujti R (ti -f- r, za -)- r) 
tt = — OO 
j qin-\- 2 g2w ji i 
a odtud hledaný vztah 
(2) R t , za -(- t) = jtí{ 2 u-\-t) r (^ -ze/) . 
Studium vlastností funkce /t se usnadní, považujemeli za za odvislé od h, tak 
aby za = u -|- v , kde z/ jest nová neodvisle proměnná; zaveďme tedy funkci 
f(u) = R (u, u + 7 1 r) , 
považujíce v ní výhradně u za proměnnou, v za paramétr. Jest pak f(?i) funkce 
jednoznačná existující v celé rovině (ti) a nemající jiných míst zvláštních 
kromě pólů stupně prvního u = — v -j- w -\- n z , (///, // = 0 , ±_ 1 , _±_ 2, .. .) 
takže součin f(u) f) x (u -|- v r) jest celistvou funkcí transcendentní. Funkce ta 
hoví dále rovnicím 
f(u + 1) =/(#) , f(u + r) = e -*i(9u+x )/(«) , 
165 
