9 
kde součinitelé A se určí pomocí druhé relace (8*). A sice obdržíme z rov 
nice této 
oo 
Y (g 2 v -f- 1 _j_ £ — 2 U JI e (2 v -f- 1) w ti i 
v = — OO 
oo 
= —-ř> 3 («) ^ ( 1) V ý (v + 2 )a *(*v + Ol«' + *)«i t 
v = — OO 
Odtud plyne srovnáním součinitelů 
A r = — í> 3 («)ř ! »*' r i—i*?-^ 
a tedy po dosazení do řady : 
V 
y ( _ 1 1 v n v 1 -4- v + ] ^2 v w .ti 
A-i*- 7 - ; 
— _ l g2v — \ c 2tLTil ’ 
v = — oo 
poněvadž lze pravou stranu psáti 
f&, (u)e* 19 “~ w ~ * r> R (w + -1±1, u - i±i) , 
nacházíme vztah velmi zajímavý: 
(9) R(u,w) = i e*i (»■»- N R (w -f , u — -^) . 
Odtud máme vůči (3): 
. # 3 ( U )& 3 (^ + - 4 ^) 
/?(«-)- T,Zť) = e 2wnt R(u , íe/) -f- * - - - 7~ -! r) } 
t^l (w) 
čili 
(10) R (u-j- T, w) = e — 2wjti ,w) #3 (#) e~ 2wnt , 
vztah, jejž lze též přímo verifikovati. 
Poznamenejme, že relacemi (8 a ) jest celistvá funkce i/» (7ť) úplně defi¬ 
nována, podobně jako relací (10) funkce R (?/) . 
3. Funkce R(u t zv) patří ku kategorii výrazů, které do theorie funkcí 
elliptických zavedl p. Appell, aby obdržel rozklad dvojperiodických funkcí 
druhu třetího v prvky jednoduché a tím také jejich trigonometrické rozvoje. 
Chceme ukázati, že naše relace (6) či (6*) obsahuje jako bezprostřední kon- 
sekvence či lépe jakožto zvláštní případy celou řadu interessantních rozvojů, 
jakéž ve své thesi studoval p. Biehler,*) z nichž mnohé hrají podstatnou 
roli v krásných arithmetických studiích slavného mathematika p. I lermitea.**) 
*) Théses présentées á la Faculté des Sciences de Paris. Gauthier — Yillars, 1879. 
**) Sur quelques conséquences arithmétiques des formules de la théorie des fonctions 
elliptiques. (Mélanges mathém. et astronomiques tirées du Bulletin de 1’Académie de St. 
Rozpravy Ročn. I. Tř. II. Č. 24. 2 
471 
