10 
§. 2. Řady Malmsténovské. 
v 
Rady, jež Malmstén a po něm uvedení mathematikové studovali, jsou 
zvláštní případy výrazu 
oo 
( 1 ) 
Ml. (?/ ,w,u,s) 
2 nvni 
n 
J“=o K w + n T +«“]* s 
1 „ > 
jejž na oslavu švédského mathematika nazvu řadou Malmsténovskou. Ukážeme 
především, že ji lze vyjádřiti omezeným integrálem. K tomu účelu nám podá 
vzorec (2) §. 1 rovnici 
g 2 n v n i 
[(lV —[— Z/) 2 —j— ft 2 ] 1 
0 „ co 
rj • o JI 
__ 2 siny r 
e 2nvni x l ~ s dx 
(w -\- n ) 2 -|- u 2 -f- ÍC 2 
v níž musí reálná čásť veličiny ^ býti obsažena v mezích 1 a 2, a při tom 
ostatní litery značí veličiny reálné. Ukážeme dodatečně, že jest 
00 
co 
co 
W £ 
n — — oo 
,2nvni \ — s 
dx 
(w -|- ;/) 2 U 2 -j- x f ‘ 
= \ dx 
00 
£ 
g2tlV 71 i rjQ 1 — 5 
n = — co 
(w -[- //) 2 -)~ 7/ 2 -|- # 2 
a užijemeli známého vzorce 
co 
£ 
>2 nvni 
(w -[- ^) 2 -f~ 
71 0 . Z 
- - g — 2 v w n i I 
a V< 
^2 n(av -\-w i) 
p 2 nav 
t e 2n(a—wi) _ j J ’ 
g 2 n (a -J- w /) 
n = — 00 x 1 ' 1 
kde psáno v' = 1 —v a předpokládáno 0 < v << 1 , máme hledaný 
výraz : 
(2) Ml. (y , w , u , s) 
g2n(wi-\- v \u 2 + ® 2 ) 
2 - ó 71 
sin — e 
s 71 „ — 2vwn i 
P( e 2 n[wi+v\u 2 + x 2 ) e 2nv\u 2 + x 2 \x V ~ S dX 
J i e 2n(wi-\-\u 2 -\-x 2 ) _ [ e 2n(-wi-\-\u 2 +x 2 ') -1 J Y?/ 2 —[— í^ 2 
platný za supposice 
1 < Reál. j < 2 ; 0 < v < 1 ; v' = 1 — v ; reálné. 
Zbývá ještě dokázati identitu (a). Obě strany rovnice té konvergují pro 
1 < Reál. s 2 neboť o levé straně je to patrno, pravá pak liší se od in¬ 
tegrálu (2) pouze určitým činitelem. 
Rovnice (a) bude dokázána, jakmile ukážeme, že rozdíl veličin 
co 
co r* 
o» £ 
M = — OO 
e 2nvni x \-s 
(w -f- 7/) 2 -j- ir -(- x* 5 
co 
Íoo 
dx £ 
n = — oo 
p2 nvni % 1 — s 
(w -|— Z/) 2 —f- li 1 -)- # 2 
532 
