22 
kde oj značí malou kladnou veličinu; jeli co menší než nejmenší z veličin 
2 n i (x -j- k) , (k = 0, +_ 1, +_ 2,.. .), bude lze užiti rozvoje Maclaurinova 
g(l — w — n)t — 2x7i i 
= A Q -\- A x t f - A^P f -. . . , 
<t — 2X71 Í 
— 1 
načež plyne integrací: 
g(l — w — n)t — 2x7ii fs —1 
co 
(a) 
gt —2X71 i _ ^ 
Znamenámeli ještě 
oo 
s 
a — U 
A a CO s + a 
S -f- CC 
P n [W , X , S j Oj) . 
(b) 
OO 
i 
^,(1 — w — n)t — 2xjií £s — 1 
,t— 2X7ti - - ^ 
= Qn , X , S | 03 ) 
co 
máme patrně ze (6 a ): 
n — 1 
( 6 b ) = 
>2 V X 71 i 
M (“'+*’)■ 
+ 
e inx7i ip n (w,X,S co) e 2nx7ii Q n ,S \ co) 
r(s) 
+ 
r(s) 
Z nekonečné řady (a), která definuje funkci Vk pro všecka je patrno, 
že P n jest jednoznačnou funkcí ^ nemající jiných singularit mimo póly stupně 
p 
prvého s = O,— 1, — 2 ,... takže podíl - jrp r je nutně celistvou funkcí s. 
1 [s) 
Věc ta je dále samozřejmá při integrálu (b), takže z (6 b ) plyne, že analy¬ 
tická funkce s daná elementem (6) je celistvo7i transcendentní. 
Vzorec (6 b ) definuje funkci ^ pro všecky hodnoty s , w, x, mimo hod¬ 
noty x položené na řežích, a dalo by se dokázati, že třeba se vyhnouti toliko 
místům á& = 0,_+l,+.2 J ... J v nichž řezy začínají. 
Můžeme si lehce zjednati výraz pro ®(w,x,s) ve tvaru omezeného inte¬ 
grálu platný pro hodnoty jichž reálná čásť je v mezích (0... 1), neb 
(— 1 ... — 2), (— 2 ... 3) atd. Jeli totiž integrál 
00 
jf(t) t °~ 1 dt — <1> 0) 
konvergentní pouze pro Reál. > 0, a mámeli pro malá t 
f(t) = A 0 -j- A x t-\- t” -)- ... , 
pak jest <I> (s) jednoznačná funkce komplexní proměnné j, která pro hodnoty j, 
u nichž — n > Reál. s > — n — 1, rovná se integrálu 
00 
<!> (s) 
n 
f{t)— 2- Art” 
V =7 0 
t s ~ 1 dt , 
jak již byl Cauchy ve svých Exercices poznamenal a na novo p. Saalschiitk 
v nedávné době nalezl. 
544 
