23 
§. 4. Pokračování o funkci St. Integrál Malmsténův. 
Zabývejme se nyní integrálem 
(0 
oo 
p £ au g — au 
\ g 71 U _ £> — 71 U 
e au e — au cos (s arctg 
J = \ ----— ---- -^dLL du 
(; x 2 + u 2 ) i 5 
o 
kde a, #jsou reálné veličiny kladné. Jelikož funkce pod znamením integračním 
je sudou, máme 
oo 
u 
2 J = 
e au — e 
— au 
— is arctg — 
x 
e nu — e 
— 71 U 
— oo 
(x 2 -j- U 2 ) 5 
d u 
čili 
( 2 ) 
OO 
2J — 
í* gau _ g— a u 
\ g 71 u _ g— n u 
díl 
{x -]- Ul) 
— oo 
Předpokládámeli x <^1 , bude funkce 
? a u 
au 
iJlU 
- konečná v pásu u 
, 71 U 1 
mezi reálnou osou a rovnoběžkou vedenou bodem u = ix ; předpoklá¬ 
dámeli dále Reál. j < 1 , budeme moci integrační cestu nahraditi novou 
cestou integrační u=y~\-ix , čímž vznikne 
oo 
i 
e au — e~ au dy 
>71 
U - e — 7lU Uyy ’ 
u — y ix , 
— oo 
kde ( iy) s — lim (x -f- u i) s — km (a iy) s , 
a = 0 
což jest 
Máme tedy 
| e \ s ti iy s p ro j/ > 0 
\ e 1 s 31 * (— y) s » y 0 . 
oo 
(’ 2 a ) 
0 
OO 
"I 
£ ay + a x i ^ — a y — axi 
pTiy + ti x i g — ti y — 71 x i 
y~ s dy 
gay — axi _ g — ay -\- axi 
g ti y — ti x i _ g — ti y -f- tz x i 
y~ s dy ; 
abychom obdrželi rozvoj tohoto integrálu užijme řady 
1 
e n y - 
X 71 l 
g - 71 y -t- X71 i 
£ 
- \ /, — Í.xyy}.x7ti 
(X = 1,3,5,7 ,...) 
545 
