25 
jehož hodnota je stálou vůči «, pokud změny této veličiny nedosáhnou urči¬ 
tého stupně. Značili a 0 nejmenší z kladných veličin řady 2?rReal(— x-\-k) 
(£ = 0 í ±. 1 ,+. 2 ,_+ 3 ,...), bude K a míti na mezeře a = (0 . . . « 0 ) hod¬ 
notu stálou a tedy 
K a = lim K a . 
a — 0 
Poněvadž lim (z — ai) s 1 jest z s ~ 1 neb *-(* —— z ) s ~jak je z 
a — 0 
kladné neb záporné, máme 
e ~wi z s~\dz 
| g 2 X 71 i — \ 
e 
e w\ z s - 1 dz 
^ _ g2x 7X l -j— ^ 
J 
U 
O 
takže po rozvinutí obou integrálů v nekonečné řady 
1 1 V / 
K a = r(s) [ ^ (w , X , i-) -f~ e ~ + 2 *)** ^ (y - w } 1 - x } j.)] } 
což dle vzorce Lipschitzova rovná se veličině 
(2 7l) s e ~ * S7liJ r 2 WX 71 i $ —- x , w , 1 — i*) , (w r = 1 — ze/) , 
a tedy máme vztah: 
(5) K a = ^n) s eir^ sJ r 2w ^- x ">) ni Ř{\—x,w,\—s) . 
Tento vzorec lze však dokázati přímo z definice (4), čímž se obdrží 
zároveň nový důkaz vztahu Lipschitzova. 
Předpokládejme za tím účelem, že v , x jsou pravé zlomky a že Reál. s 
< 1; pak uvažujme integrál 
e — w($—ai) (g — ai) s ~ 1 dz 
^ g2x jz i — a i 
vzatý podél přímých cest (— M. .. M ), (M. . .. M — Ni ), ( M — Ni . .. • 
— M — Ni) , (— M— Ni .... — M) , při čemž N —— 2 nx — a-\- (2£-f- \)n , 
kde k je velké kladné číslo celistvé. Pro lim M= oo , lim k — oo mizí 
poslední tři integrály částečné a máme tedy 
lim K M> N — K a . 
M = oo , N — oo 
Avšak dle známé věty Cauchyovy o residuích funkcí jednoznačných bude 
integrál Km,n roven součinu — 2 /rz se součtem residuí funkce integrované 
na všech pólech obsažených uvnitř kontury integrační, která je zde rovno¬ 
běžníkem o vrcholech _±_ M,±_M — Ni. Póly funkce integrované jsou zde 
kořeny rovnice 
] e 2X71 i — j -f a i —— Q 
tedy z — 2 x n i a i — 2n n i , {n = 1,2,3, .. .) 
Z těchto leží pouze n= 1,2,3, ... k uvnitř kontury integrační a pří¬ 
slušná residua jsou 
e w {2x7ii — 2n.7ii) X 7 li — 2 n n i) s ~ 1 , 
Rozpravy. Ročn. I. Tř. II. Č. 27. 
4 
547 
