28 
Podržme supposice, jež vedly ke vzorci (1), toliko veličina ^ buď v reálné 
části kladnou, jinak libovolnou. Klaďme v (\) x = kde u,co jsou 
kladné, násobme obě strany e 2 > xvnl , kde 0 < ^ < 1 , a sečtěme výsledky pro 
^=1,2,3,... I obdržíme tak vzorec následující: 
oo 
(2) S 
n= o 
£ £ 
2 ti i (;jl v + v w) 
{t.u —]— s ~ 1 e % U:rt i{ wJ t n ) r (ýj 
e 2(071 wJ m)- 2 vjti — I v oo (— U * + 1 1 03 + * v ) 
Vzorec ten vede k zajímavým výsledkům, omezímeli se na celistvá ^ = m. 
Máme tak vzorec 
oo oo 
v y fl — 1 v= —OO 
g 2 71 i ([X v -f- v w) 
(li -j- a oj i — v) m 
oo 
(w 
2j 
n= o 
(vu _|_ n) m ~ x e 2u7ii(w + n) 
g 2 od n (w -f- n) — 2 v ni _ ^ ’ 
v němě m značí celistvé kladné číslo, u veličinu reálnou aneb komplexní 
s kladnou částí pomyslnou, a 0 < w < 1; dále musí Reál. co > 0 , Im. v 0 
Pomocí vzorce (2 a ) můžeme obdržeti součet řady dvojnásobné 
oo 
oo 
( 3 ) 
S(u,v,w,a>) m = ^ 
g 2 ji i (f.i v -J- v w) 
t l 
= -oo ,=“oo (« + ř* «> *'— »)"• ’ 
která má význam pro reálná v , w , jež obě buďte obsažena v mezích (0. 
a pro libovolná komplexní u , různá od »period« \iwi — v. 
Je totiž 
OO OO — 1 oo 
š(u) m = SS + £ £ + £ 
(i= l v — — oo (.i —— oo v—— oo ju = o ; (v = — oo ... oo ) 
kde pod znamením summačním stojí týž výraz jako v (3). Avšak 
o- 
— i 
oo 
g>2 jti (fiv -\- vw) 
/* 
£ (u -4- a co i — v) m ^ (li — u co i —• v) m ’ 
= — OO v— — OO v I f / a= 1 v — — OO v r j 
OO oo 
£ £ 
g2 jti (—(.i v -f- vw) 
píšemeli zde — v místo v a vyloučímeli v jmenovateli činitele (— l ) m , obdržíme 
poslední veličinu ve tvaru 
oo oo 
(- l) m £ 
2 Jti ( - fJL v -f- v (1 — w) j 
m 
( - li —I— u co i — v) 
H — \ V ~ — oo V. I ( 
Volímeli u reálným, můžeme užiti vzorce (2 a ), takže 
_ i 
oo 
£ £ 
/l — — OO V — — oo 
(— l) ra (— 2ni) 
(m — 1)! 
CO 
£ 
n — o 
( n _|_ 1 _ w ^m — l e — 2uni(n -f 1 - *») 
g2o)Jt(n-\- l — w)-\-'ivjxi _ 
550 
