50 
Vzorec (2) neb (2 a ) obsahuje uvedený výsledek Kroneckerův jako zvláštní 
případ a kromě toho může věsti k celé řadě speciálních invariantů, z nichž 
zajímavým je též K x (a ,b,c ; a ;0) , t. j. součinitel při ^ v Maclaurinovském 
rozvoji funkce K. K tomu účelu ustanovíme nej prvé součinitele toho v rozvoji 
funkce 
oo 
( 9 ) 
Z(v,s) = 
cos 2 nv n 
n — 1 
71 
kde řada v právo konverguje při Reál. ^^>0, jakmile 0<^v<^ 1 , což před¬ 
pokládáme. Tu jest patrně 
oo 
2 Z(v,s) = e 2vjli y 
£ 2 n v ti i 
oo 
-[V 
, — 2nvjii 
„ = «( n + i y n=0 ( n + V ’ 
čili dle dřívějšího označení 
(9 a ) 2 Z (v, j) = e 2vni $ (1 ,v, s) -|- e~ 2t,7r/ SČ (1,1 — v ,s) . 
Dle vzorce (6 a ) §. 4 jest celistvou funkcí transcendentní pro¬ 
měnné ^, a totéž tedy platí o funkci Z (v , . 
Jestliže v Lipschitzově reciprocitě (5) §. 3 předpokládáme Reál. s^> \, 
můžeme na obou stranách přejiti k limitě pro w — 1, čímž vznikne 
(2^) ! 
sm 
SJll 
r(s) 
a podobně 
(2n) 
lí (1 ,v, 1 — s) . e 2viti = c 2 íí (v ,0, s) -|- e 2 Ě (l — v,0,s) , 
SJll 
SJll 
2 
r(s) 
®(l,l — v,l—s)e- 2 ”” i =e 2 f (1—w,0,j) + ř 2 f(z/,0,í), 
takže sečtením těchto výsledků obdržíme*) 
( 2 *) 
( 10 ) 
kde psáno 
r(s) 
Z {v , 1 — s) — cos R (v , s) , 
oo 
(10 a ) £(v,s)= 
1 
n — —oo 
{v -j- n }■ 
Užijemeli dříve odvozených vzorců, máme zde 
= ® (v , 0, s) -j- ^ (1 — v , 0, s) . 
oo 
(10 b ) R(v,s) = t ^. 
fS-l 
oo 
+ 
e vt t s ~ l dt 
e t — i 1 J e l — 1 
o o 
U vzorci (10) pišme í = 1 —|— tr, čímž vznikne 
(a) (2*)'+' Z (v,— a) = — sin . T(1 + a) R (v, 1 + <r) , 
*) Viz Lerch, dopis, vzorec (12). 
572 
