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les mémes quantités que K et K', relatives á un autre module /, et á son 
complément /' = y 1 — • On propose de déterminer ce module ainsi que 
la constante M, de telle sortě que, sn(^-,/), cn(-|j-,/), dn(-^,/), admet- 
tent pour périodes 2 K et 2 zK\ et s’expriment par conséquent au moyen 
des fonctions doublement périodiques de module k. 
Nous ferons pour cela, 
K 
M 
ah + ibU , 
i K' 
■ w = cL + idU 
a, b, c , d étant des nombres entiers quelconques, avec la condition 
le déterminant ad — bc soit positif, afin que la partie réelle du quotient 
soit positive. On aura ainsi les égalités, 
que 
L' 
L 
puis: 
sn 
cn 
dn 
( 
( 
( 
x + 2K 
M 
x -(- 2 K 
M 
x + 2K 
M 
l ) = ( - ^ 8,1 (í -') • 
/ ) = (-i) ,,+tcn (ÍpO ’ 
0=(-i) řd „(w-0’ 
sn 
cn 
x + 2i K' 
M 
x-\-2 i¥J 
M 
0 = ( - 1)c sn 
^ = (-iy + d c n 
dn 
'a? —2 z‘K' 
. M~ 
= (— l)^dn 
» 
Cela étant, la recherche des formules de transformation repose en entier sur 
les propriétés de la fonction: 
(x) = @ {~W’ 1 ) 
i ji bx 2 
^ 4KLM 
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qui consistent dans les relations suivantes: 
<I> (x -)- 2K) = (— \ya + i)b (j, } 
i n ji. (x -(- i K' ) 
(b (x + 2 iK') = (— 1) + bd <b (x) e K . 
Ce sont aussi ces égalités dont je ferai usage pour 1’objet de cette notě, 
et j mdiquerai ďabord une méthode facile pour y parvenir. 
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