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On en tire ďabord par un calcul facile: 
k t<i _ — « 2 ) ( ( + «) 2 
/ ,2 = 
1 —2 a 
(1 — « 2 ) (1 — «) 2 
(1 -f- 2 a)'' 
ďoíl 
k* (1 «) (1 -f- 2 a) 
v 
i —« 
et par conséquent: 
M k' _ 1 + « 
/' 
1 — « 
Ayant ainsi la formule: 
rflog-P^- 
N = 3/6£' 2 - 1-0 
nous écrirons ďabord: 
N = 6£č' 2 
dk 
d a 1 
dk 1 — « 2 * 
En remarquant ensuite que l’on a: 
d a 
~ ( l ~~ ^ 2 ) ( 2 * + “ 2 )’ 
nous parvenons á 1’expression suivante: 
N = 2 (2 « + « 2 ) . 
On en conclut, si l’on résout par rapport á a : 
a 
— — 1 + \ 1 + 4 N ’ 
et en substituant dans la valeur de k~ , on trouve 1’équation entre N et k 2 , 
á laquelle nous voulions parvenir, á savoir: 
N 
— 3k 4 = 0 . 
Nous rapprocherons ce résultat de la formule, 
sn 3 x = 
3 — (4 -f- 4/£ 2 ) sn 2 x -)- 6£ 2 sn 4 # — k x sn 8 # 
1 — 6 k 2 sn 4 x -\- (4 k 2 -(- 4 £ 4 ) sn 6 x — 3 £ 4 sn 8 a; 
en considérant le numéráteur elle fait voir sur le champ que l’on a: 
2 „ 2mK-\-2niK f 
N — — 2k 2 sn 2 -b-, 
9 
O 
m et n étant deux entiers quelconques. 
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