5 
Poslední člen (x — xj) . .. (x — x m ) f m (x , % l ,# 2 ,... x m ) = R m se při inter¬ 
polaci vynechává (poněvadž právě neznáme hodnotu funkce f(x) pro libovolné 
místo) a zove se zbytkem interpolačním. Jedná se o sblížené udání chyby, 
jaké se dopustíme vynecháním zbytku R m . 
K tomu účelu užijeme následující didczité vety. . 
Utvořme funkce rozdílové 
F(x), A F(x) = F(x) — F(x — f) , A 2 F[x) = AF(x) — A F(x — í) , 
. . . A k F(x) = A k ~ 1 F(pc) — A k ~ 1 /''(íc— £) , . . . , 
kde £ je reálná veličina kladná neb záporná. Pak zní míněná věta následovně: 
Mizíli reálná spojitá funkce reálné proměnné F (x) na n - f- 1 místech 
a 0 , a x ,... a n , pak lze ustanoviti dosti malé £ tak, aby téz n-tá funkce rozdílová 
A n F(x ) zmizela na jednom miste uvnitř intervallu (a 0 , a t , . .. a n ) .*) 
Této věty užijme nyní při determinantu 
l z z 2 . . . z n f(z) 
I rp /y»2 rpTL f (rp\ 
tX/ tX/ • • • tX/ J l tX/ J 
\x x xf... Xff(xj) 
(A) 
n*) = 
1 Xn Xfi . . . Ol ff (xj) 
tento jest reálnou funkcí proměnné z a mizí na nf- 1 místech: x i x Xi x ii ..,x n \ 
musí tedy uvnitř intervallu omezeného největší a nej menší z právě psaných 
veličin existovati hodnota z , pro niž A n F{z) = 0, t.j. pro niž 
0 0 0 ... 0 n\£ n A n f(z) 
1 rp op 2 rpTl - 1 rp?l -f (rp\ 
A- tX/ tX/ • • • tX/ eX/ / I «a/ J 
1 /y» /v* 2 rp 71 - 1 rp 71 -f (rp \ - (T • 
i. íAs-j (As | . . . tX/j eX/j y (Ar j J - u ) 
"f /v» /v» 2 rp 71 — 1 rp 71 -f (rp \ 
LAr n A/ n • . . t A/ n A n J \ A / n ) 
řešením dle A n f(z) plyne odtud rovnice 
1 X X 2 ... x n ~ 1 f(x) 
1 rp rp 2 rpYl 
X tAr tA/ • • • «a/ 
(7 a ) 
1 x x 2 ... xf~ x f(xj) 
• 
1 ry 1 rp 2 rp 71 
i. «X/ iX/1 • • • tX/ 
1 1 1 
1 x n x n 2 ... x n n ~ 1 f(x n ) 
1 /y» /y» 2 rp 71 
1 »X/ft tX/ft • • • «X/7Z 
__ d n f(z) 
n\% n ’ 
čili dle (1): 
0) 
fn (x , X j , Xq , . . . xj) 
A n f{z) 
n ! £ n 
takže zbytek v řadě (6) zní 
( 6 a ) 
Rm = (X — xj)(x - X 2 ) ... (X — X,„) 
m ! 
0 Najisto platí věta pro nekonečně malá £, jsouli derivace až ku n -té včetně konečný 
a spojitý. 
G67 
