7 
a tedy 
i 
n r* 
^ A v J' a j rV = \x a ~ 1 i(pc)R{x)dx = O 
V = o V 
t. j. 
^ x a ~ 1 x 2 { x ) dx -f- ^ x a ~ 1 1 {x) \R(x) — x (#)] = 0 
o o 
a odtud dle poslední nerovnosti: 
i i 
0 
1 
^ x a ~ 1 
o 
Integrál na pravé straně nezávisí na volbě funkce R(x)> t. j. na ó, a tedy 
plyne odtud, že integrál 
S 
x a ~ i x i (po) dx 
je menší než libovolná veličina kladná, což vyžaduje, aby zmizel. Ano x*{ x ) 
je funkce kladná, musí býti nullou, t. j. x ( x ) — 0. Odtud plyne, že též 
funkce \p (x) t. j• A (^) j e identicky nullou a věta dokázána. 
Pozn. Dlužno podotčíti, že supposice (5) obmezuje všeobecnou platnosť 
v 
naší věty do jisté míry. Žádajíc, aby lim x c \p(z) — 0 , t. j. aby lim e~ cx f 2 (x) =0, 
X = OO 
dovolila podmínka ta provésti důkaz pouze pro ony funkce f(x) , f x (x) , jichž 
rozdíl se stane zároveň s x nanejvýš tak nekonečným, jako jistá funkce ex¬ 
ponenciální. 
Obdržímeli tedy někdy vztah 
oo 
oo 
^ e~ ax f(oc)dx = ^ e~ ax f l (x)dx 
o o 
platný pro všecka a dostatečně veliká, budeme jen tehdy moci souditi 
na rovnosť 
/(«) =/.(*)» 
jeli lze určiti kladnou veličinu c tak, aby 
lim e~ cx (/(#)—/, (#)J = 0 . 
x = oo 
685 
