o 
polem bodu v pro plochu q 2 {k) . Máme tudíž tento výsledek: Plocha q 4 jest 
místem reciprokých polál* přímek F (/í) plochy x Q vzhledem k plo¬ 
chám q 2 (k) k těmto přímkám příslušným, a její křivka vratu obsahuje 
reciproké póly středu v této plochy kuželové vzhledem ke všem 
plochám řady .2'<r 2 (?z) . 
9. Pro další vyšetřování jest důležito prozkoumati vzájemnou polohu 
paraboly 77 2 , křivky H 2 řádu 2., v níž plocha x 2 proťata jest rovinou w , a křivky 
K 2 (odst. 1.). Poněvadž plocha x 2 jest polárným útvarem paraboly 77„ pro 
plochu cp 2 , jest H 2 polárou paraboly 77 2 vzhledem ke K 2 ; jest to tedy hyper¬ 
bola obsahující střed křivky K 2 a nekonečně vzdálené body jejích os, jakož 
i body 7', 7", b'" a b lv , v nichž společné tečny křivek 77 2 a K 2 křivky K 2 
se dotýkají. Z prvnější vlastnosti následuje, že jí lze vepsati nekonečné množství 
polárných trojúhelníků křivky K 2 . 
Dokážeme, že prochází též body c' , c", c' n a c IV , v nichž vytčené spo¬ 
lečné tečny T', T ", T"' a T IV dotýkají se paraboly 77 2 . 
Vytkneme-li totiž na H 2 fibovolný bod x a určíme jeho poláru vzhledem 
ke K 2 , protíná tato polára křivku H 2 v bodech y a z , které s bodem x tvoří 
polárný trojúhelník křivky K 2 vepsaný křivce H 2 a tudíž obepsaný parabole 77 2 . 
Blíží-li se bod x na H 2 některému z bodů b , blíží se jeho polára příslušné 
tečně 7", bod y bodu b a tudíž přímka xy tečně hyperboly H 2 v bodě b. 
Poněvadž ale bod z jest polem strany xy a parabola 77 2 polárou hyperboly 
H 2 pro plochu q 2 , musí býti bod z na R 2 , t. j. ztotožňuje se s příslušným 
bodem c. 
Z toho vychází na jevo, že hyperbola 77 2 jest totožná s kuželosečkou 
procházející osmi dotyčnými body společných tečen křivek K 2 a 7Č 2 , a para¬ 
bola R 2 s kuželosečkou dotýkající se osmi tečen křivek K 2 a 7/ 2 v bodech 
jim společných. 
Dále jest zřejmo, že tečny v bodech f, společných křivkám R 2 a K 2 , 
ke křivce K 2 jsou zároveň tečnami hyperboly H 2 a že jejich body dotyčné 
s touto křivkou jsou póly tečen paraboly R 2 v bodech /"vzhledem ke křivce K 2 . 
Sestrojíme-li ve dvou z bodů b , na př. b' a 7", normály křivky K 2 , 
a označíme-li bod jim společný j, jest křivkou obalovou přímek kolmo sdru¬ 
žených s paprsky svazku ^ (v rovině co) vzhledem ke křivce K 2 parabola, do¬ 
týkající se os křivky K 2 a jejích tečen v bodech b' a 7", t. j přímek T' a T". 
Jest tudíž tato parabola totožná s naší parabolou 7? 2 a následkem toho bod j - 
bodem, v němž přímka V proniká rovinu co. Bodem který dle souvislosti 
křivek R 2 a H 2 náleží této poslední, procházejí potom i normály křivky K 2 
v ostatních dvou bodech 7. Hyperbola 7/ 2 jest tedy známou hyperbolou 
Apolloniovou, příslušnou ke křivce K 2 a bodu 
Polára R bodu j pro křivku K 2 , čili polára přímky V vzhledem ku ploše cp 2 , 
jakož i normály RQ a 777 křivky 7v 2 v bodech d a d x , v nichž přímka R 
křivku Ko proniká, jsou též tečnami paraboly 77 2 . Přímky 77? a 77? jsou nor¬ 
málami plochy <jp 2 v bodech d a d x , poněvadž tečné roviny plochy v těchto 
bodech procházejí přímkou V_j_ oj. 
756 
