10 
má pol v bodě, v němž tečny R* a R k křivku Á 2 po druhé protínají. Z toho 
vyplývá, že na každé přímce plochy g 4 jsou dva a tudíž v každé rovině co ^ 
tři body dvojné křivky této plochy. Křivka dvojná jest tedy, jak v odst. 19. 
ještě přesněji poznáme, řádu třetího.*) Budeme ji označovati C 3 . Pro každou 
přímku F (k) jsou obě roviny co 4 a co* jí procházející nekonečně blízké a tudíž 
i body křivky C 3 na ní ležící. Křivka C 3 dotýká se tedy přímek F ^ k) . V každé 
z těchto rovin co splynou body d k , d* a t k , dále d x k , F a R ; má tudíž tato 
rovina v bodě d k s C G tři, v bodě c// 4) dva společné body a v bodě dJ ji 
protíná. Zároveň poznáváme, že křivka C G dotýká se přímek F ik) v bodecli 
křivky vratu (15). Body tyto označíme zvláště g\ g", g"\ g lv . 
17. Přímky plochy i/> 4 mající póly v bodech b (k) , v nichž společné tečny 
T {k) křivek F 2 a Á 2 této se dotýkají, označíme krátce B (k) ; reciproké roviny 
polárné oněch tečen co b - y co b -. . ., druhé pak roviny ze soustavy .Tco ( ”) přímkami 
B {k) procházející [co b - ], [co*,-],... a druhé přímky jim a ploše g 4 společné 
[B% [B "],... 
Přihlédněme k jedné ze společných tečen, na př. k T'. S křivkou K 2 
má společné dva soumezné body B, 1 B, z čehož jde, že rovina co b - obsahuje 
dvě soumezné přímky B\ l B' plochy Každá z rovin ooyk) jest tedy tor- 
sální rovinou plochy xp 4 . 
Bod e b - společný přímkám B\ l B r jest pro plochu ip 4 bodem kuspi- 
dálným (vrcholem); s ním, jak hned ze zevrubnějšího jeho určení poznáme, 
splynou i příslušné k přímkám B', 1 B' body d* a dF 
Každým ze soumezných bodů b\ l B prochází ještě jedna tečna paraboly Ro . 
Tyto soumezné tečny protínají se v bodě paraboly 7Č 2 , a paprsek mající tento 
bod za pol musí protínali obě přímky B\ 1 B f a poněvadž s nimi není v ro¬ 
vině, prochází jejich společným bodem e b -. Týž paprsek stanoví na B', ] Z>' 
body d* a dR které tedy s bodem e b - splynou. 
Torsální rovina co b ■ má s křivkou C 6 v bodě d b -, k němuž jest bod 1 d b ■ 
na přímce *B' soumezný, čtyři a v bodě e b - dva nekonečně blízké společné 
body. Křivka C & dotýká se v posledním bodě přímky B '. 
Každá z rovin torsálních dotýká se tedy křivky C G dvakráte; 
v bodech kuspidálných má s ní dotyk stupně 1. a v bodě příslušné 
torsální přímky, ve kterém proťata jest přímkou plochy cp 4 , nále¬ 
žející této rovině torsální, dotyk stupně 3. Křivka C 3 prochází body 
kuspidálnými a majíc mimo to na každé z přímek B (k) , l B {k) ještě jeden bod, 
dotýká se každé torsální roviny. 
Plochy g 4 dotýká se v bodech náležejících přímkám I ;{k) (14) a tudíž 
protíná ji v bodech kuspidálných plochy \j > 4 . 
Z odst. 9. vyplývá, že torsální přímky protínají poláni roviny co, t. j. 
přímku V. 
*) Analytický důkaz toho obsažen jest v pojednání Koutného »Die Normalenfláchen 
der Fláchen 2. Ordnung lángs ebener Schnitte derselben« (Sitzungsber. der k. Akad. der 
Wissenschaften in Wien, 75. sv. 1877). Viz též dříve uvedené práce Peschkovy. 
7G0 
