11 
18. Promítejme přímky plochy ip 4 z některého bodu dvojné křivky C 3 
na př. z bodu el, v němž normála Ri obsažená v rovině co protíná po druhé 
křivku K 2 . Body křivky K 2 promítají se z tohoto bodu paprsky snovu 1. st., 
který jest s řadou těchto bodů projektivný, a body kterékoli křivky K 2 X snovém 
kuželovým 2. řádu, který jest s řadou K 2 X a tudíž i s řadou K 2 a se snovém 
svrchu vytčeným projektivný. Poněvadž při projektivnosti řad K 2 a K 2 X bodu 
dl křivky K„ přidružen jest bod křivky K 2 ležící na přímce dl el, jest tato 
přímka v obou snovech samodružná, z čehož následuje, že roviny určené spolu 
sdruženými přímkami obou snovů, t. j. roviny, jimiž se přímky plochy \p 4 
promítají z bodu ei, obalují plochu kuželovou 2. st.; označíme ji e 2 i . Po¬ 
dobně přísluší k bodu el plocha kuželová e 2 i . Oba kuželové snový tečných 
rovin ploch s 2 i a s 2 i jsou v poloze perspektivní k řadě bodů křivky K' 2 , čímž 
uvedeny jsou spolu v souvislost projektivnou. Z toho následuje, že plocha y> 4 
může býti pokládána za výtvar projektivných snovů rovin tečných dvou ploch 
kuželových 2. st. 
19. Na základě úvah odst. 18. lze body roviny co přidružiti reciproce 
k rovinám prosnovu ei tak, že každému bodu křivky K 2 přidružena jest 
rovina, jíž se přímka plochy \p 4 jím procházející z bodu ei promíhá. Každé 
tečně R k paraboly /ý, bude v prosnovu ei odpovídati přímka, jíž se z bodu ei 
promítá bod e k , společný normálám R ki a R kj plochy cp 2 v bodech, v nichž 
tuto plochu přímka R k protíná. Z toho vyplývá, že křivka C 3 promítá se 
z každého svého bodu plochou kuželovou 2. řádu, již označíme y 2 , a že tedy 
dvojná křivka C 3 plochy jest řádu třetího. 
Přidružíme-li přímku cl e k plochy y 2 k přímce R k snovu tečen paraboly R 2 , 
bude snov přímek plochy kuželové y<d projektivně vztažen ke snovu tečen 
paraboly R <>; bodům této paraboly budou odpovídati tečné roviny křivky C 3 
procházející bodem cl . 
Podobně můžeme rovinnou soustavu co vztahovati reciproce k prosnovu el , 
načež oba prosnovy el a el budou v souvislosti kollineárné, přidružíme-li 
na vzájem jejich roviny odpovídající témuž bodu roviny co. Výtvarem těchto pro- 
snovů bude systém paprskový 3. řádu a třídy 1., v němž plocha y> 4 jest 
obsažena.*) 
20. Vlastnosti dosud vyvinuté znova se objasní a nové se poznají, při- 
hlédneme-li ku prostorovému svazku rovin o středu v a ku plochám kuže¬ 
lovým x 2 a r 2 . 
Polára kterékoli tečné roviny z*> k plochy r 2 , tudíž i plochy cp 2 , jest 
přímkou R í>k plochy xp 4 . Póly všech rovin z i > k vzhledem ke každé ploše <p 2 m 
z řady žcp 2 n jsou v rovině <»<”*> na kuželosečce K 2 m plochy ip 4 ; zvláště pak 
jsou průseky plochy ip 4 s rovinami a (k ) polárné útvary plochy r 2 vzhledem 
k fokálným kuželosečkám v těchto rovinách. 
*) Srovnej: Reye »Geometrie der Lage« II. Abth., 15. Vortrag. 
2 * 
761 
