18 
Pro přímky torsálné B bod e b splyne s bodem [d b ], tedy příslušná torsální 
rovina co b , jakožto nullová rovina bodu e bl jest zároveň nullovou rovinou 
bodu [ d b \ a tím rovinou tečnou křivky C 3 v bodě [e b ]. 
Poněvadž bod d b nesplývá s bodem e b , jest nullová rovina bodu d b čili 
tečná rovina křivky C 3 v bodě e b různá od torsálné roviny co b) t. j. křivka C 3 
protíná plochu cp 4 v bodě e b . 
28. Z přidruženosti rovin co m a bodů e m v nullovém systému poznáme, že 
křivka C 3 dotýká se jen čtyř přímek F plochy i/> 4 . Aby se totiž křivka tato 
dotýkala přímky R*’ m , musily by býti body é* a e m , tedy i roviny co* a oo TO 
a přímky R 1 a R m nekonečně blízké, a to může nastati jen, je-li bod r im na 
parabole R 2 , tedy totožný s některým z bodů /. 
Z toho dále vyplývá, že křivka vratu plochy cp 4 nemůže míti kromě bodů, 
v nichž dotýká se přímek F , s plochou t/> 4 jiných bodů společných. 
Abychom to dokázali, předpokládejme, že x jest společným bodem křivky 
vratu a plochy u > 4 ; přímka R i ’ m této plochy nechť jím prochází. Bodu x bude 
v nullovém systému přidružena rovina křivosti křivky C 3 procházející přímkou 
R l > m . Na přímce R l > m jsou však dva body křivky C 3 , a aby vytčená rovina 
byla rovinou křivosti této křivky, musí nutně oba tyto body býti nekonečně 
blízké, t. j. přímka R { ’ m tečnou křivky C 3 a tedy dle svrchu dokázaného 
totožná s některou z přímek F. 
Křivka vratu plochy cp 4 oskuluje tedy plochu ip 4 v bodech, ve 
kterých se dotýká čtyř přímek F. 
29. Přidruženosť rovin co n a bodů e n v nullovém systému vyplývá i z této 
úvahy: 
Křivkou K, j lze si mysliti vždy plochu 2. řádu // 2 obepsanou základnímu 
čtyřstěnu A . Paprsky komplexu, které mají na této ploše své póly vzhledem 
ku ploše <p 2 , tvoří kvadratický systém, v němž naše plocha \p 4 jest obsažena. 
V kvadratickém systému jest však rovina každých dvou paprsků přidružena 
k bodu jim společnému v nullovém systému. 
Plocha /* 2 má s plochou q> 2 kromě křivky K 2 ještě společnou křivku 
2. řádu, k níž náleží normalie čtvrtého stupně, která jest v témž systému 
kvadratickém jako normalie \p 4 a tedy samodružnou v témž nullovém systému 
jako tato plocha. 
30. S plochami cp 4 a \f) 4 jest v úzké souvislosti plocha / 4 , tvořená paprsky 
komplexu, jež mají póly své na hyperbole H 2 (9). Dokážeme především, že 
tyto paprsky protínají přímku V. Všecky paprsky komplexu, které protínají 
přímku V, mají póly pro plochu cp,, na komplexové ploše kuželové, jejímž 
středem jest pol v přímky F, t. na ploše . A poněvadž hyperbola H> 
jest pronikem této plochy s rovinou co, musí všecky přímky plochy / 4 protínati 
přímku V. 
Tato plocha jest tvořena spojnicemi sdružených bodů projektivných spolu 
řad hyperbol. Paprsky mající na H (t své póly obdržíme totiž jakožto kolmice 
spuštěné z bodů této křivky na jejich roviny polárné pro plochu (jp 2 • Tyto 
768 
