19 
roviny obalují však plochu kuželovou n 2 o středu v a řídicí parabole R 2 , 
kteráž plocha jest pro plochu y 4 tím, čím plocha t 2 pro \p 4 nebo x, 2 pro g> 4 . 
Polárným útvarem plochy n 2 vzhledem ku ploše q 2 n bude křivka druhého 
řádu H, 2 n , která sdružena jest s křivkou H 2 v affinných soustavách rovinných 
co a co”. Jest to tedy též hyperbola. Přímky spojující body sdružené hyperbol 
H 2 a H, 2 n jsou přímkami plochy y 4 . 
31. Přihlédněme k jednomu polárnému A xyz křivky K 2 obepsanému 
parabole R, 2 , tedy vepsanému křivce H,, . Každé dva ze tří paprsků komplexu 
mající póly své ve vrcholech tohoto trojúhelníku musí se protínati, poněvadž 
přímky xy, yz a zx jsou paprsky komplexu. Z toho jde, že tyto tři paprsky, 
neležíce v rovině, musí procházeti bodem, který dle svrchu řečeného náleží 
přímce V. Tato jest tedy pro plochu y 4 přímkou trojnásobnou. 
Poněvadž čtyři body r* m t r km , x a y na přímce R m jsou harmonické, jsou 
i čtyři tečny R l > m , R k > m y R x a RX paraboly R 2 m těmito body procházející 
harmonické a tím i body, které jsou jimi stanoveny na další tečně R m > m téže 
paraboly. Z toho jde: 
Každá přímka R m > m plochy q) 4 dotýká se dvojnásobně plochy % i / 4 
a čtyři body dotyčné tvoří harmonickou čtveřinu. 
32. Uvážíme-li, že hyperbola H, 2 prochází osmi body dotyčnými společných 
tečen křivek K 2 a R 2 , jest zřejmo: 
Čtyři torsálné přímky plochy ip 4 a čtyři přímky plochy q) 4 , v nichž 
torsálné roviny této plochy se dotýkají, jsou na ploše čtvrtého řádu 
s trojnásobnou přímkou, t. j. na ploše y 4 . 
V této větě obsažena jest též věta vyslovená na konci odst. 25., která 
byla zvláštním případem obecnější vlastnosti, že totiž póly přímek R n > n plochy 
cp 4 vzhledem ku příslušným kuželosečkám x 2 n plochy y 4 jsou na přímce V (25) 
Dokažme tuto vlastnosť ještě jiným způsobem. 
Přihlédněme k A x y% (31); strana xy~R m protínejž K 2 v bodech r í>m 
a r k > m , k nimž přísluší přímky R i > m a R k > m plochy \p 4 . Tyto přímky proťaty 
jsou přímkou R m > m v bodech d m a d 4 m křivky C G . Poněvadž v příbuznosti 
rovinných soustav co a co m přímka R m > m roviny co w přidružena jest ke přímce 
R m roviny co a tudíž body d m a d x m k bodům r tm a r km , bude pólu přímky 
Rm,m vzhledem ku K 2 m přidružen pol přímky R m vzhledem ke /C 2 , t. j. bod z. 
Z toho ale vychází na jevo, že pol přímky R m ' m vzhledem ke K 2 m bude 
v bodě, v němž přímka R 7 protíná rovinu oo m , t. j. na přímce V 
33. Výsledky odstavců 31. a 32. vedou k výsledkům novým. Dle odst. 32. 
jsou čtyři body db torsálných přímek B na přímce V V nullovém systému 
odst. 27. odpovídají těmto bodům roviny tečné křivky C 3 v bodech e\, obsahující 
příslušnou torsálnou přímku. Poněvadž čtyři body db jsou na přímce V, musí 
tyto čtyři roviny tečné procházeti přímkou-družkou přímky V v systému nul¬ 
lovém. Z toho jest patrno: 
v 
Čtyři torsálné přímky a tečny dvojné křivky plochy \p 4 v bodech 
kuspidálných této plochy mají společnou transversálu. 
3 * 
7G9 
