21 
e l a e k \ body e l 
36. V každé rovině co w jsou tři body křivky C 3 , t. j. e v 
a e m náležejí přímce R l > m , body e k a e m přímce R k > m . Jest otázka, jakou 
plochu tvoří přímky určené body e l a e k , které nejsou přidruženy rovině co m 
v systému nullovém ? 
Přímky tyto přidruženy jsou v nullovém systému průsečnicím rovin co 1 
a to /r , tedy paprskům komplexu, které mají póly své v bodech R 1 R k . Body 
tyto v obecném případě nejsou na křivce K 2 .*) 
Kromě tří paprsků R !m , R km a paprsku, který má v bodě R l R k svůj 
pol, neprocházejí bodem c m paprsky jiné, které by měly póly své pro plochu cj 2 
v rovině co . 
Upozorňujeme hned, že paprsky R im a R km mají s křivkou C 3 po dvou 
společných bodech, kdežto přímka m l a co k má s ní jediný společný bod, totiž e m . 
Toto tvrzení vyplývá z toho, že na př. v rovině co k jest kromě bodů e m a e k 
ještě jeden bod křivky C 3 ležící na přímce R k > n plochy ip 4 . Kdyby ještě přímka 
co k co 1 ' měla kromě bodu e m nějaký společný bod s křivkou C 3 , byly by v ro¬ 
vině co k čtyři body křivky C 3 , což jest nemožné. 
Všecky paprsky komplexu protínající křivku C 3 jsou na ploše 6. stupně. 
Myslíme-li si totiž libovolný paprsek M osového komplexu, jsou všecky paprsky 
komplexu, které mají pro plochu cp, 2 na něm své póly, v reciproké rovině 
polárné fi paprsku M obalujíce v ní parabolu M „. Rovina fi má s křivkou C 3 
tři společné body a z každého z nich jsou možný dvě tečny k parabole M t ,; 
tyto tečny jsou jedinými paprsky komplexu, které mají póly na iř a pro¬ 
tínají C 3 . Z toho jde, že přímka M má s plochou pólů všech paprsků kom¬ 
plexu protínajících křivku C 3 šest společných bodů, že tedy tato plocha jest 
6 . stupně (qr 6 ). Mezi paprsky, které protínají křivku C 3 , jsou také paprsky, 
které ji protínají dvakráte; k nim náležejí přímky plochy y» 4 . Jest patrno, 
že křivka, na níž jsou póly paprsků křivku C 3 dvakráte protínajících, jest 
pro vytčenou plochu cp 6 křivkou dvojnásobnou; křivka K< 2 náleží tedy 
k této dvojnásobné křivce.**) Následkem toho rovina co bude plochu cp 6 pro- 
tínati kromě dvakráte počítané křivky K, 2 ještě v jisté křivce 2. stupně C , 2 , 
a paprsky, které mají na této křivce své póly, budou protínati křivku C 3 
pouze jedenkráte. Křivka C 2 jest tedy místem bodů R 1 R k . Plocha tvořená 
přímkami o/ co k jest následkem toho stupně 4. a má každou z rovin 2'co n za 
rovinu bitangenciálnou, plocha pak, která obsahuje přímky, z nichž každá 
spojuje dva body křivky dvojné C 3 , které jsouce v rovině oo x k této rovině 
přidruženy nejsou, taktéž stupně 4. a má křivku C 3 za dvojnásobnou. Tato 
plocha nemá roviny za bitangenciálné; její roviny bitangenciálné budou 
sdruženy v nullovém systému s body dvojné křivky plochy tvořené přímkami 
co k co 1 a tato křivka jest od C 3 různá. 
*) O zvláštním případě, v kterém body R l R l náležejí křivce R , bude pojednáno 
v oddíle »0 normalii s trojnásobnou přímkou«. 
**) Jest pouze její částí, neboť každým bodem křivky C. A procházejí čtyři paprsky 
komplexu, které jsou jejími tětivami a pouze dvě z nich náležejí ploše . 
771 
