24 
Jinak lze určit i rovinu tečnou v bodě m x takto: 
Všecky tečny ZT n sestrojené ke křivkám ZK.. n v bodech plošné přímky 
R l,k tvoří hyperbolický paraboloid, jehož přímky druhé soustavy jsou paprsky 
komplexu mající pro plochu cp., své póly na tečně T křivky K„ v bodě r*> k . 
Poněvadž roviny polárné všech bodů této tečny vzhledem ku ploše cp musí 
obsahovati poláru této přímky, t. j. přímku r*’ k v plochy r 2 , jest jedna z rovin 
řídících onoho hyperbolického paraboloidu kolmá ke přímce r'> k v. (Zároveň 
jest z toho zřejmo, že asymptotická rovina plochy r/> 4 , procházející přímkou R*> k , 
jest kolmá k přímce r i>k v .) 
Nekonečně vzdálenému bodu v přímky T přísluší rovina polárná a'’ r ik v , 
a kolmice z bodu v na tuto rovinu spuštěná jest nekonečně vzdálenou přímkou 
druhé soustavy hyperb. paraboloidu a určuje druhou rovinu řídící této plochy. 
Tato rovina jest na rovině a" r lk v kolmá a s přímkou T stejnosměrná. Určíme-li 
ještě paprsek komplexu mající pol v některém bodu přímky T , na př. k ně¬ 
kterému průsečíku s rovinami a k , jest tím hyperbolický paraboloid určen. 
Konečně budiž vytčeno, že lze určiti snadno průseky plochy y» 4 s rovi¬ 
nami a k jakožto polárné útvary plochy kuželové r 2 k fokálným kuželosečkám 
Z\ 2 (k) plochy cp.,. 
40. Přikročme k určení hyperboloidu oskulačního plochy y» 4 dle přímky 
R*’ k . V bodě m x této přímky budiž ) x rovinou tečnou plochy i/' 4 a X její 
stopní přímka na rovině co; tato stopa prochází bodem r l > k . 
Přímka L x oskulačního hyperboloidu, která prochází bodem m x , musí 
protínati kromě přímky R}> k ještě dvě s ní soumezné přímky plochy y> 4 , čili, 
poněvadž tyto přímky jsou paprsky komplexu osového, dva s paprskem R i > k 
soumezné paprsky, mající své póly na křivce K 2 . 
Všecky paprsky komplexu protínající přímku L x mají však póly své na 
ploše 2. řádu l, x obepsané čtyřstěnu z/, z čehož jde, že kuželosečka L ,, x , 
společná ploše l, x a rovině co, musí křivku K, v bodě r l > k oskulovati. 
Kuželosečku L t , x hleďme ustanoviti. 
Mysleme si v rovině l x svazek přímek l L x , *L X , 3 L X . .. o středu m x ; 
k těmto přímkám, z nichž každá jest tečnou plochy y> 4 v bodě m x , náleží 
i přímka L x . Ke každé z těchto přímek náleží plocha n l. x a kuželosečka n L. t x 
podobně, jako plocha h x a kuželosečka L< x k přímce L x . 
Dokážeme, že kuželosečky n L 2 tvoří svazek (1. mocnosti). 
Poněvadž totiž a) všecky přímky n L x jsou v rovině /.*, budou paprsky 
komplexu v této rovině ležící všecky přímky n L x protínati a tudíž přímka P, 
obsahující póly všech těchto paprsků, bude společnou přímkou všech ploch 
n l. x a tudíž bod Pw společným bodem všech křivek n L. x . Ze však bod r lk 
jest polem přímky R l > k v rovině ). x obsažené, jest bod Pco = r l > k . 
Poněvadž B) všecky přímky n L x procházejí bodem m x , bude křivka třetího 
řádu, obsahující póly všech paprsků komplexu bodem m x procházejících (tvo¬ 
řících plochu kuželovou komplexu), společná všem plochám n ž 2 ®, a křivky n L. x 
budou procházeti třemi body, v nichž ona křivka 3. řádu rovinu co proniká. 
774 
