30 
46. Všecky roviny oo M příslušné k paprskům E n procházejí přímkou R e } 
tvoří tedy svazek o ose R e , který jest jedním dílem svazku třetí třídy 2'co n 
případu obecného. 
Druhý díl tvořen jest reciprokými rovinami polárnými paprsků A n . Tyto 
roviny obsahují paprsky komplexu, které mají póly své vzhledem ku ploše g 2 
na přímce o? a k . Poněvadž ale tyto osy, k nimž i přímka R e náleží, obalují 
kuželosečku, která dotýká se hran čtyřstěnu A v rovině a k ležících a přímky 
coa k , jest z toho zřejmo, že druhou částí svazku třetí třídy 2o) n jest 
svazek rovin tečných plochy kuželové (válcové) xp 2 2. řádu, která 
dotýká se stran čtyřstěnu A procházejících vrcholem a k , roviny o 
a roviny a k R e . 
Roviny tohoto svazku jsou rovinami polárnými bodu vzhledem ku všem 
plochám řady .£g< 2 ”, kdežto každá rovina prvního dílu, t. j. svazku o ose R e , 
může býti pokládána za rovinu polárnou bodu v vzhledem k fokálné kuželo¬ 
sečce F 2 k . 
47. Kterákoli přímka A n protíná K 2 ve dvou bodech r ni a r nk , a normály 
plochy g) 2 , mající v nich své póly, jsou v reciproké rovině polárné oý l přímky 
A n a pronikají se tudíž v bodě e n na přímce R e . Z toho jde, že přímka R e jest 
dvojnásobnou přímkou plochy i/; 4 . 
Dvě z přímek A n dotýkají se křivky K q v bodech b a ti na přímce o oa k ’, 
body e\) k nim příslušné jsou kuspidálnými body plochy xp A a náležejí dle 
právě uvedeného přímce R e . 
v 
Ze přímka R e jest částí dvojného útvaru plochy , poznáme též z ná¬ 
sledující úvahy, která nás zároveň poučí o zbývající části tohoto útvaru. 
Přidružíme-li roviny prostorového svazku e q projektivně k bodům roviny co 
způsobem vytčeným v odst. 19., budou paprskům A n příslušeti ve svazku e q 
přímky obsažené v rovině přidružené bodu a k . Poněvadž ale přímce d q d q ' = R 
svazku a k odpovídá ve svazku e q přímka e e q a přímce e q e q normála plochy 
v bodě e q , jest bodu a k přidružena rovina co q stanovená touto normálou 
a přímkou ee q . Podobně by byla bodu a k v prostorovém svazku e q přidružena 
rovina co q ', stanovená normálou plochy g._, v tomto bodě a přímkou e e q . Z toho 
jde, že každé dvě přímky plochy , příslušné k bodům, v nichž některá 
z přímek A n křivku K 2 proniká, mají společný bod co q co q ', t. j. na přímce R e . 
Ta jest tedy částí útvaru dvojného plochy . 
Svazku přímek E n přidružen jest ve svazku e q svazek přímek v rovině 
sdružené s bodem e. Poněvadž ale přímce ee q přidružena jest ve svazku e q 
přímka e q e q \ bude bodu e příslušeti rovina procházející touto přímkou a mimo 
to bodem d 1 , v němž protínají se normály plochy cp., v bodech přímky i oa k 
náležející též svazku e. Táž rovina odpovídá bodu e v prostorovém svazku e q m 
Z toho jest zřejmo, že druhým útvarem dvojným plochy ^ 4 bude výtvar dvou 
projektivných svazků roviny e q e q e h , které mají středy své v bodech e q a e q . 
Uvážíme-li, že přímka e q e q ' oběma svazkům společná odpovídá ve svazcích 
780 
