31 
e q a e q ' různým přímkám d q e q resp. d q e q svazku*?, jest zřejmo, že výtvarem 
vytčených dvou svazků kuželosečka procházející body e q , e q a e h . Tato 
kuželosečka D,, jest druhou částí dvojné křivky plochy ip 4 . 
Obě části dvojného útvaru plochy ip 4 , t. j. přímka R e a kuželosečka D ,,, 
mají společný bod u t v němž pronikají se normály plochy y; 4 v bodech nále¬ 
žejících paprsku a k e. Ten totiž náleží i do svazku A n i do svazku E n .*) 
48. Dva z paprsků E n dotýkají se křivky K ., a normály B" a B ,n plochy 
cfo k bodům dotyčným b" a b ,n příslušné jsou druhýma dvěma torsálnými 
přímkami plochy (I"?)* Na nich jsou ostatní dva body kuspidálné e b " a e b " 
které náležejí též křivce D 2 ; jsou to tedy proniky B" a B'" s rovinou křivky D t ,. 
Jest zřejmo, že tyto body náležejí i ploše ip 2 , neboť jsou obsaženy 
reciproké rovině polárné přímky b" b'" náležející svazku přímek A n a v reciproké 
polárné rovině přímky k b" b'" soumezné. 
49. Kterákoli rovina svazku R e protíná křivku D, 2 kromě v bodě u ještě 
v bodě, který jest společný normálám plochy cp Q v bodech, v kterých tato 
rovina proniká křivku K Q . Pouze pro rovinu R e a k , t. j. reciprokou rovinu po¬ 
lárnou přímky e a k , oba tyto body splynou. Z toho jde, že tato rovina dotýká 
se křivky D 0 _ v bodě u. 
Tečné roviny plochy \p 2 stanoví na přímkách R e a coa k dvě projektivné 
řady. Kterémukoli bodu x druhé řady odpovídá v první řadě bod, v němž ji 
protíná reciproká rovina polárná co m přímky a k x, t. j. k této rovině příslušný 
bod e m dvojné přímky R e . Bodu e odpovídá tedy bod ?/, z čehož jde, že 
přímka R e dotýká se plochy yj 2 v bodě u. 
V každé tečné rovině co m plochy \p <2 jsou dva body křivky D 2 . Taková 
rovina protíná totiž křivku K„ ve dvou bodech r km a r lm , z nichž každý 
určuje s bodem e přímku protínající K 2 ještě v jednom bodě r kl a r l ?. Přímky 
R k > 1 a R l P protínají přímky R km a R im v bodech křivky D 2 . Pouze pro ro¬ 
vinu co k procházející přímkou e a k (tedy i R e ) oba tyto body splynou s bo¬ 
dem u, takže křivka D t> v tomto bodě dotýká se přímky a k u plochy , 
tedy i této plochy. 
50. Přímky B" a B'" pronikají se, majíce póly své na paprsku komplexu 
b" b'", v jistém bodě e x přímky R e . Průmět křivky D, z tohoto bodu na ro¬ 
vinu co musí procházeti body b" a b'". 
Je-li křivka K» kruhovou křivkou plochy , jest bod e, jakožto průsečík 
normál této křivky, jejím středem a tím přímka b"b" f nekonečně vzdálena. 
Body b", b"' budou imaginárnými body kruhovými roviny co a bod e x neko¬ 
nečně vzdáleným bodem přímky R e . Z toho jde: 
Pravoúhelný průmět dvojnásobné kuželosečky normalie plochy 
cp 2 dle jejího kruhového průseku do roviny tohoto průseku jest 
křivka kruhová.**) 
*) Srovnej »Peschka, Darst. und proj. Geometrie« IV. sv., str. 137. a 198. 
**) Peschka, »Darst. und proj. Geometrie« IV. sv., str. 207. 
781 
