34 
ve dvou rovinách svazku Z 7 , kdežto normály R nm a R ms , jakož i R n P a Rp* 
ve dvou rovinách svazku T k . Z toho jest zřejmo, že normály prvních dvou 
párů musí se protínati na přímce P c , druhých dvou na přímce Z 7 ; tyto přímky 
jsou tedy dvojnásobnými přímkami plochy \fJ é . Zároveň jest patrno, že 
roviny bitangenciálné svazků T k a Z 7 dotýkají se plochy vždy ve dvou 
bodech přímky T k resp. 7 7 , a sice v těch, v nichž je protínají přímky plochy y^ 4 
v těchto rovinách obsažené. 
54. Libovolná rovina co k svazku a k a 1 má s plochou kromě této dvoj¬ 
násob počítané přímky a k a 1 ještě společnou kuželosečku K 2 X , která přidružena 
jest v affinitě v odst. 4. vylíčené kuželosečce K,,. Bodům křivky K t± na přímce 
a k a 1 odpovídají při tom body křivky Kp na téže přímce, a poněvadž body 
křivky 7C, tedy i křivky K 2 X , jsou body a k a a 1 harmonicky odděleny, 
stanoví všecky křivky K 2 X plochy \p 4 na přímce a k a 1 kvadratickou 
involuci bodovou, jejímiž dvojnásobnými body jsou body a k a a 1 , 
jimiž právě procházejí přímky 7 7 a T k . 
Každá rovina co x svazku a k a 1 jest rovinou tečnou v bodech, v nichž tuto 
přímku protíná kuželosečka . 
Zároveň jest z tohoto vyšetřování zřejmo, že křivka C 6 rozdělí se ve přímky 
7" /c , T l a a k a 1 , z nichž každou počítat! jest dvakráte. 
55. Osy kuželosečky K„ a nekonečně vzdálená přímka její roviny tvoří 
trojúhelník, jehož vrcholy jsou a k , a 1 a bod o , společný rovině « a přímce a k a l . 
Poněvadž reciproké roviny polárné jeho stran a k o a a 1 o jsou roviny a 1 a 
a' 
a poněvadž každá rovina co x , procházející přímkou a k a 1 , protíná tyto dvě roviny 
v přímkách, tvořících s přímkou a k a 1 polárný trojúhelník křivky K ± x , jehož 
jedna strana jest nekonečně vzdálena a druhé dvě na sobě kolmý, jsou tyto 
dvě strany osami křivky K 2 X . 
Je-li tedy přímka a k a 1 nekonečně vzdálena, t. j., jsou-li body a k a a 1 body 
nekonečně vzdálené dvou hlavních os plochy cp .,, jsou osami křivky K 2 X prů- 
sečnice roviny o o x s rovinami a k a a z , a střed o x této křivky jest na přímce a k a l . 
Asymptoty všech křivek K 2 X vytvoří tu na nekonečně vzdálené přímce kvadra¬ 
tickou involuci bodovou, která má body a k a a 1 za dvojnásobné (54). Nenídi 
přímka a k a 1 nekonečně vzdálená, t. j., je-li na př. bod a k středem plochy, jest 
přímka a k a 1 nekonečně vzdálená. Jednou osou každé z křivek K„ x jest přímka 
a 
c a l a druhá jest v rovině a 1 . Bod a k jest tedy středem všech křivek K„ x . 
56. Roviny torsálné plochy y> 4 jsou rovinami tečnými křivky K 2 , prochá¬ 
zejícími přímkami T k a Z 7 ; body kuspidálné, příslušné k rovinám procházejícím 
přímkou l k jsou na Z 7 a naopak. Torsálné přímky jsou v rovinách a k a a 1 . 
Body, v nichž křivky Kp protínají rovinu a k resp. a 1 , jsou na těchto přímkách 
torsálných. Je-li tedy bod a k středem plochy g) 2 , tedy rovina a k nekonečně 
vzdálená, jsou asymptoty křivek K 2 X ve dvou rovinách, jimiž se z bodu a k 
promítají nekonečně vzdálené torsálné přímky plochy ip 4 . Tyto roviny jsou 
reciprokými rovinami polárnými asymptot křivky K, .*) 
:,í ) O ploše ip 4 v tomto zvláštním případě pojednal dílem syntheticky, dílem analyticky 
prof. J. Šolín v práci dříve uvedené. 
784 
