35 
O normalii s trojnásobnou přímkou. 
57. Přihlédněme ke případu b) odst. 41. Přímky plochy , mající za póly 
vrcholy trojúhelníku ikl , vepsaného křivce K, 2 a obcpsaného R 2 (odst. 43.), 
protínají se v bodě e ikl , který jest pro bodem trojnásobným. Všecky tyto 
trojnásobné body, příslušné k jednotlivým trojúhelníkům ikl , musí býti na 
přímce — trojnásobné přímce plochy \p 4 . Označíme tuto přímku C. 
Tato přímka musí procházeti i bodem e náležejícím křivce Á 2 , v němž pro¬ 
tínají se normály R q a Ri , plochy qp,,, obsažené v rovině co , neboť tento bod 
jest též trojnásobným bodem plochy \p 4 . 
Pro další úvahy jest prospěšno ukázati, že přímka C jest trojnásobnou 
přímkou ještě pro jednu normalii plochy g) 2 . 
Budiž mnp jiný trojúhelník, vepsaný K 2 a obepsaný R ,,, a e m > n >P trojný 
bod plochy , tomuto trojúhelníku příslušný. Všecky paprsky komplexu 
osového, protínající přímku C, určenou body e*> k > 1 a e m > n >P , mají póly na ploše 
2. řádu y 2 , obepsané základnímu čtyřstěnu /I. Tato plocha prochází i body 
z, k, /, z/z, n a /, poněvadž paprsky mající v nich své póly protínají přímku C, 
a to v bodech e l > k > 1 a e m > n >P . Z toho ale vyplývá, že kuželosečka K, náleží 
ploše y 2 , kteráž tedy musí plochu <jp 2 pronikati kromě v Á 2 ještě v jedné 
křivce 2. řádu, již označíme K' 2 . Normály plochy g 2 v bodech této křivky; 
jakožto paprsky mající póly na ploše y 2 , musí též protínati přímku Z:'. 
Každým bodem e i > k ’ 1 přímky E prochází 6 normál plochy cp 2 ; tři z nich 
mají póly své v bodech i, k, l křivky K 2 a tedy zbývající tři v bodech 
i\ k\ l' křivky K' 2 (při čemž trojúhelník z 7 , k\ l' jest obepsán parabole R ' 2 , 
příslušné k rovině křivky K r 2 ). Z toho jde, že přímka E jest též trojnásobnou 
přímkou normalie i// 4 , mající K' 2 za křivku základní. 
Jako křivku K , 2 , bude přímka E protínati křivku K' 2 v bodě, v němž 
protínají ji normály plochy q > 2 , obsažené v rovině co'. 
Kuželosečky K 2 a K ' 2 , jakož i jejich roviny oj a co' budeme jmenovati 
doplňkovými. 
Z tohoto vyšetřování poznáváme zároveň, že kuželosečky plochy (jp 2 , 
poskytující normalie s trojnásobnou přímkou, vynikají tou zvlášt¬ 
ností, že přímky jedné soustavy plochy druhého řádu (/ 2 ) každou 
z nich a vrcholy základního čtyřstěnu plochy cf 2 určené jsou paprsky 
komplexu. Křivkou K,, tohoto druhu jest její křivka doplňková K' 2 úplně 
určena jakožto zbývající čásť proniku plochy y 2 s plochou cp ,,. 
v ^ 
58. Čtyři kuspidální body plochy musí býti v tomto případě na přímce E , 
ježto náležejí k bodům Z odst. 43. vychází na jevo, že musí býti i na 
přímkách E, jsou to tedy průsečíky těchto přímek s přímkou E. Druhou trans- 
versálou přímek B jest dle odst. 25. přímka V. 
Ploše kuželové x 2 (5) bude v tomto případě vepsáno nekonečné množství 
trojhranů obepsaných ploše t 2 ; roviny t lc budou rovinami tečnými této plochy. 
5 * 
785 
