37 
v 
přímku M. Čtyři z těchto přímek dotýkají se plochy cp „, a jejich reciproké ro¬ 
viny polárné jsou jediné čtyři hlavní normálné roviny plochy (p 2 procházející 
přímkou M*) Uvažme, jak se věc změní, nastoupí-li na místo přímky M 
přímka E. 
Plocha Ho přejde tu ve plochu y 2 , která se plochy g) 2 dotýká v bodech t a ť. 
Dvě a dvě ze čtyř vytčených přímek a tudíž i dvě a dvě ze čtyř hlavních 
rovin normálných plochy <y 2 stanou se nekonečně blízkými, z čehož jde, že 
přímkou E procházejí dva páry soumezných rovin tečných plochy desmické, 
že tedy tato přímka jest její dvojnásobnou tečnou.**) 
61. Přímka určená společnými body t a ť dvou doplňkových křivek K, 
a K 2 není obecně paprskem komplexu. Kdyby byla paprskem komplexu, 
protínaly by se normály R 1 a R 1 ' v jistém bodě e t > t '. Z tohoto bodu byly by 
kromě normál R l a R 1 ' možný ještě čtyři normály plochy cp,, , z nichž dvě 
měly by své paty na K 2 , dvě na K,/. Kdyby byly obě paty na K, se na¬ 
lézající od bodů t a ť různé, procházely by bodem e tr čtyři normály, mající 
paty v jedné rovině co různé od a lc , což jest nemožné. Z toho následuje nutně, 
že dvě ze čtyř normál bodem e* ť kromě normál R* a R t ' procházejících musí 
býti k těmto normálám nekonečně blízké, t. j. přímka E musila by býti v tomto 
případě tečnou dvojné křivky plochy desmické. Naopak bylo by snadno do- 
kázati, že, je-li přímka E tečnou dvojné křivky plochy desmické, na př. 
v bodě e lt \ přímka tť jest paprskem komplexu. 
62. Určíme, kolik přímek E prochází libovolným bodem s v prostoru. 
Bodem ^ prochází šest normál plochy (p ,,; jejich paty jsou po třech ve 
20 rovinách tvořících 10 párů, tak že roviny každého páru obsahují všech šest pat. 
Roviny každého páru mají s cp 2 společné doplňkové kuželosečky 71 K 2 a 71 K,/, 
k nimž příslušné normalie mají touž trojnásobnou přímku 71 E. 
Každým bodem v prostoru prochází tedy deset přímek E. 
Ke každé z 10 přímek 71 E náleží plocha n y 2 tuto přímku obsahující a pro¬ 
tínající (j 2 v křivkách n K 2 a 71 KJ . Deset ploch n y, 2 prochází vesměs základní 
křivkou komplexu, která má bod ^ za pol. Tímto bodem procházejí dvě 
přímky každé z ploch n y ,,: jedna z nich, která není paprskem komplexu, 
jest přímka n E, druhá pak, označme ji n G, jest paprskem komplexu. Poněvadž 
1 přímka n E i přímka n G protínati musí křivky n K, 2 a n K 2 \ jest z toho zřejmo : 
Každá z 10 dvojin kuželoseček 71 K 2 n K./ příslušných k libovolnému 
bodu ^ v prostoru má takovou polohu, že z jediných dvou přímek 
*) Z toho vychází na jevo, že plocha desmická jest třídy 4. 
**) Bylo by nesprávno domnívati se, že každá dvojnásobná tečna plochy desmické 
jest trojnásobnou přímkou jisté normalie tp 4 . K dvojnásobným tečnám plochy desmické 
náležejí na př. normály plochy (f 2 . Plocha y 2 k normále pl. <f 2 příslušná jest plocha kuželová 
2. st., mající patu normály za svůj střed a pronikající plochu (p. 2 ve křivce 4. řádu, která 
dotýká se hlavních tečen plochy c p 2 k oné patě příslušných. Mimo to jsou dvojnásobné 
tečny plochy desmické, k nimž příslušné plochy y 2 dotýkají se plochy <p 2 ve dvou bodech 
náležejících přímce plochy cp 2 . Pronik ploch y 2 a <f 2 složen jest potom z této přímky 
a z křivky 8. řádu. 
787 
