40 
se přímka ik blížila k bodu 1, paprsky 1 k a 1 / budou se blížiti k tečnám 
plochy cf . 2 ; bude-li přímka ik nekonečně blízka k bodu 1, přímky U a 1/ 
budou soumeznými tečnami plochy <jp 2 v bodě 1, a poněvadž jsou paprsky 
komplexu, budou tečnami druhé křivky křivosti plochy q, 2 příslušné k bodu 1 .*) 
Z toho vychází na jevo: 
Rovina základní křivky této zvláštní normalie jest oskulační 
rovinou druhé křivky křivosti procházející bodem 1.**) 
Normály plochy q 2 v těchto dvou k bodu 1 soumezných bodech i a k 
budou se protínati na přímce E ve druhém hlavním středu křivosti místa 1 
plochy q <2 . 
Tento bod označíme e x ; s ním splývají tři z kuspidálných bodů plochy ip 4 . 
66. Křivka K, protíná křivku A.k kromě v bodě 1 ještě v bodě, který 
označíme 1'. Přímka snovu a k bodem 1' procházející dotýká se plochy q, 2 
v tomto bodě čili má s ní společné dva soumezné body. Normály plochy q., 
v těchto bodech protínají se ve druhém hlavním středu křivosti e x - místa V 
plochy q 2 , a tento střed musí též náležeti přímce E; jest to čtvrtý kuspi- 
dálný bod naší plochy. 
67. V každém bodě x křivky A, 2 k má plocha q 2 , jak známo, dva hlavní 
středy křivosti: jeden jest průsečíkem normály R x se soumeznou normálou 
křivky A 2 k , a geom. místem těchto bodů jest evoluta O křivky A 2 k , druhý 
jest bodem společným normály ll x se soumeznou normálou plochy q, 2 , která 
jest v rovině a k R x . K těmto bodům náležejí body e x a e\ odst. 65. a 66. 
Dokážeme, že geometrickým místem těchto druhých středů křivosti 
jest jistá kuželosečka T 2 , mající trojúhelník tvořený body a 1 v rovině 
n k za trojúhelník základní. 
Budiž A kterákoli přímka a k dotýkající se plochy q. 2 . S plochou touto 
má společné dva soumezné body x a x\ a normály R x a E x ' pronikají se 
v druhém hlavním středu křivosti t x místa x plochy q <2 . Všecky paprsky 
komplexu, které mají póly své na přímce A , budou bodem t x procházeti. 
Paprsky tyto jsou kolmice k rovinám polárným bodů přímky A z těchto 
bodů sestrojené. Roviny tyto tvoří svazek rovin, jehož osou jest polára přímky 
A pro plochu q 2 , t. j., tečna T x křivky H 2 v bodě x, a každý z vytčených 
paprsků obsahuje póly jedné té roviny pro všecky plochy řady 2q, 2 x . Zvláště 
pak bod t x , všem těmto paprskům společný, jest polem každé té roviny, čili 
polem přímky T x , vzhledem k fokálné kuželosečce F 2 k . Z toho jde, že geo¬ 
metrickým místem druhých středů křivosti plochy q 2 v bodech 
křivky A,, k jest kuželosečka (To), která jest polárou křivky A 2 k 
vzhledem k fokálné kuželosečce /?*.***) 
D První křivkou křivosti pro bod 1 jest křivka A. k . 
Rovina tato má s křivkou křivosti dotyk 8. st. 
***) Srovnej: A. Clebsch »tíber das Problém der Normalen bei Curven und Oberfláchen 
2. Ordnung«. Journal fiir Math., sv. 62. 
790 
