DPt. E. LASKER UBER REIHEN AUE DER CONVERGEKZGRENZE. 
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Der Convergenzradius der E,eihe sei = 1. Die Reihe multipliciereii wir mit (1 — x)^, 
wo X eine positive Gvosse bezeichnet, inid erhalten 
F (5c) . (1 — xY = . (1 — rK)\ 
Wir lassen nun x die positiven Werte zwischen 0 nnd 1 dnrchlanfen und wenden 
obiges Criterion an. Der Maximalwert von x”'{1 — xY miter den obigen Umstanden 
ist = ,- fi, ist oftenbar =0, da iedes Glied der Reihe in x = 1 verschwindet. 
Mithin ist 
lim F (x) . (1 — xY 
X = 1 
c 
iininer dann = 0, wenn absolnt convergiert; imd dassell3e edit oftenbar auch flir 
lim F (.r) . (x — j'Y, 
X = j 
j irgend ein Pimkt des Convergenzkreises. 
1st mngekehrt bekannt, dass flir einen bestimmten Wert von X nnd irgend einen 
Pmikt des Convergenzkreises j lim F (,r) . (x — JY niclit gleicli U ist, so folgt darans 
X = i 
die Divergenz von 
Genau analoge Untersnclmngen lassen sick vielfircli anstellen, z. B. bei Annahme von 
Potenzreihen von mebr als 1 Veranderlichen, bei zu Grundelegung von Reihen der 
Form —, bei Betrachtimg von Integralen etc. Erminzt, nnd in eewissem 
Sinne erweitert, wird der Satz durch die nun folgende Uberlegnng. 
5 . Es sei in P = L die Reihe 
"'b + + 1^3 + . . . -i- u,. 
divergent. Gesucht ist ein Criterion, welches anzeigt, dass daranfhin lira f, = co. 
= CO 
Wir behanpten, dies sei immer der Fall, wenn sick irgend eine endliche Zahl c 
angeben lasst, derart dass die Ungleiclmng 
i + '^b “b • • • "k • • • I > c • (I '^1 1 "k hb I “b • • • “k ! 1 + • • •) 
gUltigbleibt flir alle Lagen von P, deren Index grosser ist als eine angebliare endliche 
Zahl N. Dies Criterion sei das Criterion K genannt. 
Um seine Existenz zu beweisen schliessen wir wie folfft. Es ist fiir alle Lae:en 
IT? O 
von P 
k — hb 1 “k hb I "k hb I "k • • • + | ^'n 1 +--- 
> hb 1 + hb 1 + 1 1 + • • • +1 1, 
3 K 
VOL. CXCVI.—A. 
