DR. E. LASKER UBER REIHEN AUF DER CONVERGENZGREKZE. 
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Eine elementare Formel ist 
ebenso 
r ...». 
r(7i + i)r(x) ’ 
X nahere sich durch positive AVerte wachsend der 1. 
Es sei angesetzt f{x) = So”c„a;" uiid der Convergeiizradiiis der Potenzreihe sei = 1. 
AVir erhalten dann ohne weiteres 
Satz I. Ist 
uiid fiir \ = 0 
lim c.j . ^ = p, so findet sich 
n = CO 
lim f{x) . {I — xY = p . T (k) 
X - 1 
lim 
x= 1 
/dr) 
= P- 
Satz I gilt aucli iioch fiir imaginare A., dereii reeller Teil positiv ist. Er gilt auch 
iioch, wenn x sich so der 1 niiliert, dass sich durch 1 eine gerade Liiiie legen liisst, die 
mit der reellen Axe eiiieii spitzeii AA^inkel bildet, innerhalb welchem und dem Coii- 
vergenzkreis x variiert. 
Alan kann iiamlich nachweiseii, dass daiiii das Criterion K befriedigt ist. Es sei 
/\ = a + und a positiv. Alsdann ist identisch 
r + k) 1 _ 
1 ' r (n + X) 1 
“'0 
r{n + 1 ). rx ‘"1 
rx r {n + 1 ) 
Nun ist nach einer Eigenschaft der T Function 
lim ^ 
r(n + A)| _ 
r (u + 1 ) ■" ’ 
somit nach dem evidenten Teil des Satzes I, wenn \x\ sich wachsend der Einheit 
iiithert, 
lim (1 — 1 A' I)“ • 
1^1 = 1 
.^00 I r {n + X) I 
T{n + 1) 
Ist 8 eine beliebig vorgegebene kleine Crosse, so liisst sich also nach obigem 
immer ein AAArt $ so nahe an 1 linden, dass fur alle Lageu von x, fur die \x\> 
|r(ft + A.)| , ro + 8 
r(?t + 1) I ' (1 - \x\Y ‘ 
1st IV der erwiihute spitze AVinkel, so ist aus elementar geometrischen Grunden fiir 
alle Lagen von x 
1 — 
I r (71 + Xj [ 
r ( 77 . + 1 ) 
\x\ < cos IV . \1 — 
r(a) + 8 
X 
X 
< 
(cos wY 
Vl - XI 
somit 
(cos vSy 
