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DK. E. LASKER UBER REIHEX AUF DER COXW.RGEXZGREXZE. 
Der Hiilfssatz ist somit ei’wiesen. 
Nun wenden wir ims zum Beweis des Satzes III. 
Es war 
Wir bilden 
+ ^1 + Co + . . 
iind 
• + + . 
-/(I). 
f(^ - / (I) 
a; — 1 
0 (c‘,i + + 1 + C;, + 2 + . . . ) a:" “ ^; 
Cu + + c „+2 + . . . setzen wir = c„. Da nun 
lim Cn . =r p war, so ist nach deni HiiUssatz 
>i = X 
lim c'n 
= CO 
Somit kbnnen wir diese Beihe genau so behandeln, wie die urspriinglicbe Reihe; 
und es ist unschwer zu seben, dass sicb dies Verfahren fortsetzen liisst, so lange als 
die Summe der Coefficienten der neu geliildeten Reihen convergiert, d. h. A mal. 
Scbliesslich erlialten wir auf der rechten Seite eine Reihe, deren Coefficienten der 
Bedingung geniigen 
lim (f),i . n ^ = 
_P_ 
_ X . (_ X - 1) ( - A - 2) . . . (- A + 1 - A) ■ 
Ftir die dazugeborige Reihe F (x) = gilt aber nach Satz I 
lim FH . (1 - x)"*^ =— ,.(-x-l) ."..(-> + 1-/0 ■ + 
Nach dem bekannten Functionaltheorem der r-Function ; und Avenn man beriick- 
sichtigt, dass 
F(a;) - /(I) 
.ni) 
a; — 1 
■A I 
a; — 1 
— etc. (A mal). 
ergiebt sich dann rein aritmetisch die oben gegebene Form des Satzes III. 
Fiir den Fall, dass y eine gauze Zahl ist und der imaginilre Teil von A von 0 
verschieden ist, hbren unsere Beweise auf gtdtig zu sein, und wir lassen es dahin- 
gestellt, was dann eintreten mag. Ist aber X selbst eine ganze Zahl, so tritt offenbar 
die logaritmische Modification des Satzes I in Kraft und alles andere bleibt unver- 
iindert. 
8. Einige kurze Andeutungen, wie man die Siltze I, II, and III ausbeuten mag, 
mogen bier nicht am unrechten Platze sein. 
